Страница 136 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

594 Сформулируйте свойства делимости.

Делимость чисел подчиняется нескольким основным свойствам. Вот главные из них:

• Свойство 1: Делимость суммы и разности

  Если каждое из двух целых чисел $a$ и $b$ делится нацело на число $c$, то их сумма $(a+b)$ и разность $(a-b)$ также делятся нацело на число $c$.

  В виде формулы: если $a \vdots c$ и $b \vdots c$, то $(a+b) \vdots c$ и $(a-b) \vdots c$.

  Например, $21$ делится на $7$ и $14$ делится на $7$. Следовательно, их сумма $(21+14)=35$ делится на $7$, и их разность $(21-14)=7$ также делится на $7$.

  Ответ: Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма и разность делятся на это число.

• Свойство 2: Делимость произведения

  Если в произведении целых чисел хотя бы один из множителей делится нацело на число $c$, то и всё произведение делится нацело на число $c$.

  В виде формулы: если $a \vdots c$, то $(a \cdot b) \vdots c$ для любого целого числа $b$.

  Например, $18$ делится на $6$. Следовательно, произведение $(18 \cdot 5)=90$ также делится на $6$.

  Ответ: Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

• Свойство 3: Транзитивность

  Если число $a$ делится нацело на число $b$, а число $b$ в свою очередь делится нацело на число $c$, то число $a$ также делится нацело на число $c$.

  В виде формулы: если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$.

  Например, $72 \vdots 12$ и $12 \vdots 4$. Следовательно, $72$ делится на $4$.

  Ответ: Если первое число делится на второе, а второе — на третье, то первое число делится на третье.

• Свойство 4: Следствие из свойства делимости суммы

  Если сумма $(a+b)$ и одно из слагаемых, например $a$, делятся нацело на число $c$, то и второе слагаемое $b$ также делится нацело на число $c$.

  В виде формулы: если $(a+b) \vdots c$ и $a \vdots c$, то $b \vdots c$.

  Например, сумма $45$ делится на $9$. Одно из слагаемых, $27$, делится на $9$. Следовательно, второе слагаемое $(45-27)=18$ также делится на $9$.

  Ответ: Если сумма и одно из слагаемых делятся на некоторое число, то и другое слагаемое делится на это число.

• Свойство 5: Базовые свойства

  Любое целое число $a$, не равное нулю, делится само на себя. Любое целое число $a$ делится на $1$. Ноль делится на любое целое число $c$, не равное нулю.

  В виде формул: $a \vdots a$ (при $a \ne 0$); $a \vdots 1$; $0 \vdots c$ (при $c \ne 0$).

  Например, $13 \vdots 13$; $5 \vdots 1$; $0 \vdots 8$.

  Ответ: Любое ненулевое число делится само на себя и на единицу, а ноль делится на любое ненулевое число.

595. Объясните, почему на 12 делится произведение:

a) $12 \cdot 47$;

б) $12 \cdot 120$;

в) $120 \cdot 51$;

г) $24 \cdot 17$;

д) $11 \cdot 36$;

е) $13 \cdot 48$.

Все указанные произведения делятся на 12, потому что в каждом из них хотя бы один из множителей делится на 12. Это следует из свойства делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

а) 12 · 47

В данном произведении множитель 12 делится на 12, поэтому и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 12 делится на 12.

б) 12 · 120

В данном произведении множитель 12 делится на 12, поэтому и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 12 делится на 12.

в) 120 · 51

В данном произведении множитель 120 делится на 12, так как $120 : 12 = 10$. Следовательно, и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 120 делится на 12.

г) 24 · 17

В данном произведении множитель 24 делится на 12, так как $24 : 12 = 2$. Следовательно, и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 24 делится на 12.

д) 11 · 36

В данном произведении множитель 36 делится на 12, так как $36 : 12 = 3$. Следовательно, и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 36 делится на 12.

е) 13 · 48

В данном произведении множитель 48 делится на 12, так как $48 : 12 = 4$. Следовательно, и всё произведение делится на 12.

Ответ: Произведение делится на 12, так как множитель 48 делится на 12.

596. Запишите числа 24, 42, 36, 72, 75 в виде произведения и покажите, что:

а) 24 делится на 12;

б) 42 делится на 21;

в) 36 делится на 6;

г) 72 делится на 9;

д) 75 делится на 5;

е) 75 делится на 25.

а) Чтобы показать, что 24 делится на 12, представим число 24 в виде произведения, где одним из множителей является 12. Мы знаем, что $24 = 12 \cdot 2$. Поскольку число 24 можно представить как произведение числа 12 и целого числа 2, это доказывает, что 24 делится на 12 без остатка.

Ответ: 24 делится на 12, так как $24 = 12 \cdot 2$.

б) Чтобы показать, что 42 делится на 21, представим число 42 в виде произведения с множителем 21. Получаем: $42 = 21 \cdot 2$. Так как 42 является произведением числа 21 и целого числа 2, то 42 делится на 21 нацело.

Ответ: 42 делится на 21, так как $42 = 21 \cdot 2$.

в) Чтобы показать, что 36 делится на 6, запишем 36 в виде произведения, где один из множителей равен 6. Из таблицы умножения известно, что $36 = 6 \cdot 6$. Это представление показывает, что 36 делится на 6.

Ответ: 36 делится на 6, так как $36 = 6 \cdot 6$.

г) Чтобы показать, что 72 делится на 9, представим 72 в виде произведения с множителем 9. Получаем: $72 = 9 \cdot 8$. Поскольку 72 можно представить как произведение 9 и целого числа 8, это доказывает делимость 72 на 9.

Ответ: 72 делится на 9, так как $72 = 9 \cdot 8$.

д) Чтобы показать, что 75 делится на 5, представим 75 как произведение, где один из множителей равен 5. Выполнив деление, получим: $75 \div 5 = 15$. Следовательно, $75 = 5 \cdot 15$. Это доказывает, что 75 делится на 5.

Ответ: 75 делится на 5, так как $75 = 5 \cdot 15$.

е) Чтобы показать, что 75 делится на 25, запишем 75 в виде произведения с множителем 25. Мы знаем, что $25 \cdot 3 = 75$. Таким образом, $75 = 25 \cdot 3$. Это представление доказывает, что 75 делится на 25 без остатка.

Ответ: 75 делится на 25, так как $75 = 25 \cdot 3$.

597. Покажите, что любое из чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30 можно записать в виде $5 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Чтобы показать, что каждое из чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30 можно записать в виде $5 \cdot k$, где $k$ — натуральное число, необходимо для каждого из этих чисел найти такое натуральное $k$. Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее.

Для этого мы можем разделить каждое число из списка на 5. Если результат деления будет натуральным числом, то утверждение будет доказано.

• Для числа 5: $5 \div 5 = 1$. Число 1 является натуральным. Следовательно, $5 = 5 \cdot 1$, где $k=1$.

• Для числа 10: $10 \div 5 = 2$. Число 2 является натуральным. Следовательно, $10 = 5 \cdot 2$, где $k=2$.

• Для числа 15: $15 \div 5 = 3$. Число 3 является натуральным. Следовательно, $15 = 5 \cdot 3$, где $k=3$.

• Для числа 20: $20 \div 5 = 4$. Число 4 является натуральным. Следовательно, $20 = 5 \cdot 4$, где $k=4$.

• Для числа 25: $25 \div 5 = 5$. Число 5 является натуральным. Следовательно, $25 = 5 \cdot 5$, где $k=5$.

• Для числа 30: $30 \div 5 = 6$. Число 6 является натуральным. Следовательно, $30 = 5 \cdot 6$, где $k=6$.

Таким образом, для каждого числа из заданного списка мы нашли соответствующее натуральное число $k$, которое удовлетворяет условию. Это доказывает, что все эти числа можно представить в виде $5 \cdot k$.

Ответ: $5 = 5 \cdot 1$; $10 = 5 \cdot 2$; $15 = 5 \cdot 3$; $20 = 5 \cdot 4$; $25 = 5 \cdot 5$; $30 = 5 \cdot 6$. Во всех случаях множитель $k$ (1, 2, 3, 4, 5, 6) является натуральным числом.

598. Напишите 5 чисел, кратных числу:

а) 2;

б) 5;

в) 20;

г) 7;

д) 3;

е) 9;

ж) 4;

з) 11.

Число, кратное данному, — это число, которое делится на данное число без остатка. Чтобы найти 5 чисел, кратных заданному числу, нужно умножить это число на 5 любых натуральных чисел (например, 1, 2, 3, 4, 5).

а) 2;

Найдем пять чисел, кратных 2, умножив 2 на 1, 2, 3, 4 и 5:

$2 \cdot 1 = 2$

$2 \cdot 2 = 4$

$2 \cdot 3 = 6$

$2 \cdot 4 = 8$

$2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10.

б) 5;

Найдем пять чисел, кратных 5:

$5 \cdot 1 = 5$

$5 \cdot 2 = 10$

$5 \cdot 3 = 15$

$5 \cdot 4 = 20$

$5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 5, 10, 15, 20, 25.

в) 20;

Найдем пять чисел, кратных 20:

$20 \cdot 1 = 20$

$20 \cdot 2 = 40$

$20 \cdot 3 = 60$

$20 \cdot 4 = 80$

$20 \cdot 5 = 100$

Ответ: 20, 40, 60, 80, 100.

г) 7;

Найдем пять чисел, кратных 7:

$7 \cdot 1 = 7$

$7 \cdot 2 = 14$

$7 \cdot 3 = 21$

$7 \cdot 4 = 28$

$7 \cdot 5 = 35$

Ответ: 7, 14, 21, 28, 35.

д) 3;

Найдем пять чисел, кратных 3:

$3 \cdot 1 = 3$

$3 \cdot 2 = 6$

$3 \cdot 3 = 9$

$3 \cdot 4 = 12$

$3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

е) 9;

Найдем пять чисел, кратных 9:

$9 \cdot 1 = 9$

$9 \cdot 2 = 18$

$9 \cdot 3 = 27$

$9 \cdot 4 = 36$

$9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 9, 18, 27, 36, 45.

ж) 4;

Найдем пять чисел, кратных 4:

$4 \cdot 1 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$4 \cdot 3 = 12$

$4 \cdot 4 = 16$

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

з) 11.

Найдем пять чисел, кратных 11:

$11 \cdot 1 = 11$

$11 \cdot 2 = 22$

$11 \cdot 3 = 33$

$11 \cdot 4 = 44$

$11 \cdot 5 = 55$

Ответ: 11, 22, 33, 44, 55.