Страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

606. Сформулируйте признаки делимости на 10, на 5, на 2.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0.
Объяснение: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы $N = 10k + d$, где $d$ — это последняя цифра числа $N$, а $k$ — число, образованное всеми предыдущими цифрами (или 0, если число однозначное). Первое слагаемое $10k$ всегда делится на 10. Следовательно, для того чтобы вся сумма $N$ делилась на 10, необходимо, чтобы его последняя цифра $d$ также делилась на 10. Единственная цифра, которая делится на 10, — это 0.
Примеры: числа 70, 120, 3450 делятся на 10, так как оканчиваются на 0. Числа 71, 125, 3456 не делятся на 10.
Ответ: На 10 делятся все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.
Объяснение: Представим число в том же виде: $N = 10k + d$. Слагаемое $10k$ делится на 5, поскольку $10 = 2 \cdot 5$. Таким образом, делимость числа $N$ на 5 полностью определяется делимостью на 5 его последней цифры $d$. Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5.
Примеры: числа 85, 190, 5555 делятся на 5, так как оканчиваются на 5 или 0. Числа 84, 191, 5554 не делятся на 5.
Ответ: На 5 делятся все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или 5.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра — чётная (то есть 0, 2, 4, 6 или 8). Такие числа называются чётными.
Объяснение: Снова используем формулу $N = 10k + d$. Слагаемое $10k$ делится на 2, так как $10 = 2 \cdot 5$. Значит, делимость числа $N$ на 2 зависит только от делимости его последней цифры $d$ на 2. Чётные цифры (0, 2, 4, 6, 8) делятся на 2, а нечётные (1, 3, 5, 7, 9) — нет.
Примеры: числа 12, 94, 576, 1008 являются чётными и делятся на 2. Числа 13, 95, 577, 1009 являются нечётными и не делятся на 2.
Ответ: На 2 делятся все натуральные числа, запись которых оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8).

607. Какое число называют чётным? Назовите 6 чётных чисел.

Какое число называют чётным?

Чётным называют целое число, которое делится на 2 без остатка. С точки зрения математики, число $n$ является чётным, если существует такое целое число $k$, что выполняется равенство: $n = 2k$. Простым признаком чётности числа является его последняя цифра: если запись числа оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, то это число чётное. Например, числа 12, 34, 156, 1080 являются чётными.

Ответ: Целое число, которое делится на 2 без остатка.

Назовите 6 чётных чисел.

Можно назвать любые 6 чисел, которые делятся на 2 без остатка. Вот несколько примеров:
2, 8, 16, 44, 100, 512.

Ответ: 2, 8, 16, 44, 100, 512.

608. Какое число называют нечётным? Назовите 7 нечётных чисел.

Какое число называют нечётным?
Нечётным называют целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Это означает, что такое число нельзя разделить на две равные целые части.
Характерным признаком нечётного числа является его последняя цифра в десятичной записи: она всегда будет одной из следующих — 1, 3, 5, 7 или 9.
В математике любое нечётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: Нечётным называют целое число, которое не делится на 2 без остатка.

Назовите 7 нечётных чисел.
Для того чтобы назвать 7 нечётных чисел, достаточно выбрать любые целые числа, которые оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9. Самые простые примеры — это первые положительные нечётные числа.
Семь примеров нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Можно привести и другие примеры, в том числе отрицательные или большие числа: 19, 21, 101, -1, -15, -33, -99.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

609. Сформулируйте признаки делимости на 9, на 3.

Признак делимости на 9

Натуральное число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Объяснение:

Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующую степень числа 10. Например, четырехзначное число $d_3d_2d_1d_0$ можно записать как $N = 1000 \cdot d_3 + 100 \cdot d_2 + 10 \cdot d_1 + d_0$.

Так как $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$ и так далее, то любую степень числа 10 можно представить в виде $10^k = (10^k - 1) + 1$. Число $10^k - 1$ состоит из $k$ девяток (например, $10^3 - 1 = 999$), поэтому оно всегда делится на 9.

Рассмотрим наше число $N$:

$N = (999 + 1) \cdot d_3 + (99 + 1) \cdot d_2 + (9 + 1) \cdot d_1 + d_0$

$N = 999 \cdot d_3 + d_3 + 99 \cdot d_2 + d_2 + 9 \cdot d_1 + d_1 + d_0$

$N = (999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1) + (d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$

Первое слагаемое в скобках, $(999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1)$, очевидно делится на 9. Следовательно, делимость всего числа $N$ на 9 зависит от того, делится ли второе слагаемое, $(d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$, на 9. А это и есть сумма цифр исходного числа.

Пример:

Проверим, делится ли число 5814 на 9. Для этого найдем сумму его цифр: $5 + 8 + 1 + 4 = 18$.

Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и число 5814 делится на 9.

Проверка: $5814 \div 9 = 646$.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 3

Натуральное число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Объяснение:

Этот признак доказывается аналогично признаку делимости на 9. Поскольку любое число вида $10^k - 1$ (состоящее из $k$ девяток) делится на 9, оно также делится и на 3. Используя те же преобразования, что и выше:

$N = (999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1) + (d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$

Первое слагаемое $(999 \cdot d_3 + 99 \cdot d_2 + 9 \cdot d_1)$ делится на 9, а значит, делится и на 3. Следовательно, делимость всего числа $N$ на 3 зависит от того, делится ли на 3 сумма его цифр $(d_3 + d_2 + d_1 + d_0)$.

Пример:

Проверим, делится ли число 7851 на 3. Найдем сумму его цифр: $7 + 8 + 5 + 1 = 21$.

Так как 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), то и число 7851 делится на 3.

Проверка: $7851 \div 3 = 2617$.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

610. Какие из чисел 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440 делятся на:

а) $2$

б) $5$

в) $2$ и $5$

г) $10$

а) Для того чтобы число делилось на $2$, его последняя цифра должна быть четной, то есть $0, 2, 4, 6$ или $8$. Проверим каждое число из списка: 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440.

• 128 оканчивается на 8 – делится.
• 325 оканчивается на 5 – не делится.
• 500 оканчивается на 0 – делится.
• 506 оканчивается на 6 – делится.
• 725 оканчивается на 5 – не делится.
• 905 оканчивается на 5 – не делится.
• 830 оканчивается на 0 – делится.
• 962 оканчивается на 2 – делится.
• 750 оканчивается на 0 – делится.
• 1000 оканчивается на 0 – делится.
• 1262 оканчивается на 2 – делится.
• 2440 оканчивается на 0 – делится.

Таким образом, на $2$ делятся числа: 128, 500, 506, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440.
Ответ: 128, 500, 506, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440.

б) Для того чтобы число делилось на $5$, его последняя цифра должна быть $0$ или $5$. Проверим каждое число из списка:

• 325 оканчивается на 5 – делится.
• 500 оканчивается на 0 – делится.
• 725 оканчивается на 5 – делится.
• 905 оканчивается на 5 – делится.
• 830 оканчивается на 0 – делится.
• 750 оканчивается на 0 – делится.
• 1000 оканчивается на 0 – делится.
• 2440 оканчивается на 0 – делится.

Остальные числа оканчиваются на другие цифры и на $5$ не делятся.
Ответ: 325, 500, 725, 905, 830, 750, 1000, 2440.

в) Число делится на $2$ и $5$ одновременно, если оно делится на их произведение, то есть на $10$. Это означает, что число должно оканчиваться на $0$. Выберем из списка числа, которые оканчиваются на $0$: 500, 830, 750, 1000, 2440.
Ответ: 500, 830, 750, 1000, 2440.

г) Для того чтобы число делилось на $10$, его последняя цифра должна быть $0$. Это условие совпадает с условием в пункте в). Выберем из списка числа, которые оканчиваются на $0$: 500, 830, 750, 1000, 2440.
Ответ: 500, 830, 750, 1000, 2440.

611. Напишите шесть чисел, которые делятся на:

а) $2$;

б) $5$;

в) $2$ и $5$;

г) $10$.

a) 2;
Чтобы число делилось на $2$, оно должно быть четным. Признак делимости на $2$ гласит, что число должно оканчиваться на четную цифру, то есть на $0, 2, 4, 6$ или $8$.
Примеры шести чисел, которые делятся на $2$: $8, 12, 46, 100, 254, 1098$.
Ответ: $8, 12, 46, 100, 254, 1098$.

б) 5;
Чтобы число делилось на $5$, оно должно оканчиваться на цифру $0$ или $5$. Это основной признак делимости на $5$.
Примеры шести чисел, которые делятся на $5$: $5, 15, 40, 75, 200, 1005$.
Ответ: $5, 15, 40, 75, 200, 1005$.

в) 2 и 5;
Если число делится одновременно и на $2$, и на $5$, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку $2$ и $5$ — простые числа, их НОК равно их произведению: $2 \times 5 = 10$. Таким образом, число должно делиться на $10$. Признак делимости на $10$ — число должно оканчиваться на $0$.
Примеры шести чисел, которые делятся на $2$ и $5$: $10, 30, 80, 120, 500, 2020$.
Ответ: $10, 30, 80, 120, 500, 2020$.

г) 10.
Чтобы число делилось на $10$, его последняя цифра должна быть $0$. Это условие полностью совпадает с условием из предыдущего пункта, так как делимость на $10$ равносильна одновременной делимости на $2$ и $5$.
Примеры шести чисел, которые делятся на $10$: $20, 50, 90, 160, 700, 3000$.
Ответ: $20, 50, 90, 160, 700, 3000$.

612. а) Напишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10.

б) Напишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 5.

в) Напишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2.

а)

Чтобы найти все числа от 15 до 95, которые делятся на 10, необходимо найти все числа в этом промежутке, последняя цифра которых 0. Это признак делимости на 10.

Первое число в заданном диапазоне, которое больше 15 и оканчивается на 0, — это 20. Далее будем последовательно прибавлять 10, пока результат не превысит 95.

Или, иными словами, мы ищем числа $n$, удовлетворяющие двойному неравенству $15 \le n \le 95$, которые являются кратными 10, то есть $n = 10k$ для некоторого целого $k$.

Получаем неравенство для $k$: $15 \le 10k \le 95$.
Разделим все части на 10: $1.5 \le k \le 9.5$.
Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому условию, это: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Найдем соответствующие значения $n$:
$10 \cdot 2 = 20$
$10 \cdot 3 = 30$
$10 \cdot 4 = 40$
$10 \cdot 5 = 50$
$10 \cdot 6 = 60$
$10 \cdot 7 = 70$
$10 \cdot 8 = 80$
$10 \cdot 9 = 90$
Все эти числа находятся в диапазоне от 15 до 95.

Ответ: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

б)

Чтобы найти все числа от 23 до 46, которые делятся на 5, необходимо найти все числа в этом промежутке, последняя цифра которых 0 или 5. Это признак делимости на 5.

Первое число в заданном диапазоне, которое больше 23 и оканчивается на 0 или 5, — это 25. Далее будем последовательно прибавлять 5, пока результат не превысит 46.

Перечислим эти числа:
25
$25 + 5 = 30$
$30 + 5 = 35$
$35 + 5 = 40$
$40 + 5 = 45$
Следующее число, $45 + 5 = 50$, уже больше 46, поэтому оно не подходит.

Ответ: 25, 30, 35, 40, 45.

в)

Чтобы найти все числа от 51 до 73, которые делятся на 2, необходимо найти все четные числа в этом промежутке. Признак делимости на 2 — число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8).

Первое число в заданном диапазоне, которое больше 51 и является четным, — это 52. Далее будем последовательно прибавлять 2, пока результат не превысит 73.

Перечислим эти числа:
52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72.

Следующее четное число, $72 + 2 = 74$, уже больше 73, поэтому оно не входит в искомый список.

Ответ: 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72.

613. С помощью цифр 2, 3, 5, 7 (без повторения) запишите все четырёхзначные числа, которые делятся:

а) на 2;

б) на 5.

а) Чтобы четырёхзначное число делилось на 2, оно должно быть чётным, то есть оканчиваться на чётную цифру. Из предложенных цифр {2, 3, 5, 7} только одна является чётной — это 2.

Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на 2. На первых трёх позициях могут стоять оставшиеся цифры {3, 5, 7} в любом порядке (без повторений). Найдём все возможные комбинации (перестановки) для первых трёх цифр:

• Если первая цифра 3, то возможны числа: 3572, 3752.
• Если первая цифра 5, то возможны числа: 5372, 5732.
• Если первая цифра 7, то возможны числа: 7352, 7532.

Всего получается 6 таких чисел.

Ответ: 3572, 3752, 5372, 5732, 7352, 7532.

б) Чтобы четырёхзначное число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Из предложенных цифр {2, 3, 5, 7} этому условию удовлетворяет только цифра 5.

Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на 5. На первых трёх позициях могут стоять оставшиеся цифры {2, 3, 7} в любом порядке (без повторений). Найдём все возможные комбинации (перестановки) для первых трёх цифр:

• Если первая цифра 2, то возможны числа: 2375, 2735.
• Если первая цифра 3, то возможны числа: 3275, 3725.
• Если первая цифра 7, то возможны числа: 7235, 7325.

Всего также получается 6 таких чисел.

Ответ: 2375, 2735, 3275, 3725, 7235, 7325.

614. Можно ли с помощью цифр 1, 2, 5, 6 (без повторения) составить трёхзначное число, которое делилось бы:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 5;

г) на 10?

а)

Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра — чётная. В наборе цифр {1, 2, 5, 6} есть две чётные цифры: 2 и 6. Следовательно, можно составить трёхзначное число, которое будет делиться на 2. Для этого нужно, чтобы оно оканчивалось на 2 или 6. Например, можно составить число 152. Оно образовано из заданных цифр без повторений и его последняя цифра 2 — чётная.
Ответ: да, можно. Например, 152.

б)

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Нам нужно выбрать три цифры из набора {1, 2, 5, 6} так, чтобы их сумма была кратна 3.
Рассмотрим все возможные комбинации трёх цифр и найдём их сумму:
• 1, 2, 5: сумма $1 + 2 + 5 = 8$. Число 8 не делится на 3.
• 1, 2, 6: сумма $1 + 2 + 6 = 9$. Число 9 делится на 3.
• 1, 5, 6: сумма $1 + 5 + 6 = 12$. Число 12 делится на 3.
• 2, 5, 6: сумма $2 + 5 + 6 = 13$. Число 13 не делится на 3.
Так как есть комбинации цифр, сумма которых делится на 3 (например, 1, 2 и 6), то можно составить искомое число. Например, 126.
Ответ: да, можно. Например, 126 или 156.

в)

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. В наборе {1, 2, 5, 6} есть цифра 5. Мы можем использовать её в качестве последней цифры. Первые две цифры можно выбрать из оставшихся {1, 2, 6}. Например, составим число 125. Оно составлено из заданных цифр без повторений и оканчивается на 5, следовательно, делится на 5.
Ответ: да, можно. Например, 125.

г)

Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра — 0. В заданном наборе цифр {1, 2, 5, 6} нет цифры 0. Поэтому составить трёхзначное число, которое делится на 10, из этих цифр невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

615. Покажите, что чётные числа 18, 20, 48, 96 можно записать в виде $2 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Это означает, что любое чётное число $N$ можно представить в виде произведения $N = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число. Поскольку все данные числа (18, 20, 48, 96) являются положительными, то и множитель $k$ должен быть натуральным числом. Чтобы показать это, для каждого числа найдём соответствующее значение $k$.

18
Чтобы записать число 18 в виде $2 \cdot k$, найдём $k$, разделив 18 на 2:
$k = 18 : 2 = 9$
Число 9 является натуральным, следовательно, представление возможно.
Ответ: $18 = 2 \cdot 9$.

20
Чтобы записать число 20 в виде $2 \cdot k$, найдём $k$, разделив 20 на 2:
$k = 20 : 2 = 10$
Число 10 является натуральным, следовательно, представление возможно.
Ответ: $20 = 2 \cdot 10$.

48
Чтобы записать число 48 в виде $2 \cdot k$, найдём $k$, разделив 48 на 2:
$k = 48 : 2 = 24$
Число 24 является натуральным, следовательно, представление возможно.
Ответ: $48 = 2 \cdot 24$.

96
Чтобы записать число 96 в виде $2 \cdot k$, найдём $k$, разделив 96 на 2:
$k = 96 : 2 = 48$
Число 48 является натуральным, следовательно, представление возможно.
Ответ: $96 = 2 \cdot 48$.