Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

655. Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами:

а) 32;

б) 62;

в) 51;

г) 100.

Чтобы записать число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами, нужно найти все пары его натуральных делителей. Будем находить эти пары последовательным перебором делителей, начиная с 1.

а)

Для числа 32 ищем все пары множителей:
$32 = 1 \times 32$
$32 = 2 \times 16$
$32 = 4 \times 8$
Перебор можно остановить, так как следующий делитель 8 уже встречался в паре с 4.

Ответ: $32 = 1 \times 32$; $32 = 2 \times 16$; $32 = 4 \times 8$.

б)

Для числа 62 ищем все пары множителей:
$62 = 1 \times 62$
$62 = 2 \times 31$
Так как 31 является простым числом, других пар натуральных множителей нет.

Ответ: $62 = 1 \times 62$; $62 = 2 \times 31$.

в)

Для числа 51 ищем все пары множителей:
$51 = 1 \times 51$
$51 = 3 \times 17$ (51 делится на 3, так как сумма его цифр $5+1=6$ делится на 3)
Так как 17 является простым числом, других пар натуральных множителей нет.

Ответ: $51 = 1 \times 51$; $51 = 3 \times 17$.

г)

Для числа 100 ищем все пары множителей:
$100 = 1 \times 100$
$100 = 2 \times 50$
$100 = 4 \times 25$
$100 = 5 \times 20$
$100 = 10 \times 10$
Перебор можно остановить, так как мы дошли до квадратного корня из 100 ($ \sqrt{100} = 10 $).

Ответ: $100 = 1 \times 100$; $100 = 2 \times 50$; $100 = 4 \times 25$; $100 = 5 \times 20$; $100 = 10 \times 10$.

656. Разложите на простые множители число:

а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10 000; д) 100 000.

Решение.

д) 100 000

100 000 | 2·5
10 000 | 2·5
1000 | 2·5
100 | 2·5
10 | 2·5
1 |

$100 000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^5$

а) Чтобы разложить число 10 на простые множители, нужно найти простые числа, произведение которых равно 10. Число 10 является четным, следовательно, оно делится на 2.
$10 \div 2 = 5$
Число 5 также является простым. Таким образом, простые множители числа 10 — это 2 и 5.
$10 = 2 \cdot 5$
Ответ: $10 = 2 \cdot 5$

б) Разложим число 100 на простые множители. Число 100 можно представить в виде произведения $10 \cdot 10$. Так как разложение числа 10 на простые множители — это $2 \cdot 5$, то:
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2$
Можно также использовать метод последовательного деления:
$100 \div 2 = 50$
$50 \div 2 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Множители: 2, 2, 5, 5.
Ответ: $100 = 2^2 \cdot 5^2$

в) Разложим число 1000 на простые множители. Число 1000 можно представить как $10^3$.
$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^3$
Методом последовательного деления:
$1000 \div 2 = 500$
$500 \div 2 = 250$
$250 \div 2 = 125$
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Множители: 2, 2, 2, 5, 5, 5.
Ответ: $1000 = 2^3 \cdot 5^3$

г) Разложим число 10 000 на простые множители. Число 10 000 можно представить как $10^4$.
$10000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$
Методом последовательного деления:
$10000 \div 2 = 5000$
$5000 \div 2 = 2500$
$2500 \div 2 = 1250$
$1250 \div 2 = 625$
$625 \div 5 = 125$
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Множители: 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 5.
Ответ: $10000 = 2^4 \cdot 5^4$

д) Разложим число 100 000 на простые множители. Число 100 000 можно представить как $10^5$.
$100000 = 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$
Методом последовательного деления:
$100000 \div 2 = 50000$
$50000 \div 2 = 25000$
$25000 \div 2 = 12500$
$12500 \div 2 = 6250$
$6250 \div 2 = 3125$
$3125 \div 5 = 625$
$625 \div 5 = 125$
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Множители: пять двоек и пять пятерок.
$100000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5^5$
Ответ: $100000 = 2^5 \cdot 5^5$

657. Разложите на простые множители число:

а) 64;

б) 200;

в) 288;

г) 256;

д) 333;

е) 346;

ж) 512;

з) 8100;

и) 4096;

к) 2500;

л) 888;

м) 2525.

а) 64

Чтобы разложить число 64 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьший простой делитель. Число 64 четное, поэтому делим его на 2.

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Мы выполнили деление на 2 шесть раз. Таким образом, разложение числа 64 на простые множители выглядит так: $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Ответ: $64 = 2^6$.

б) 200

Разложим число 200. Оно четное, делим на 2.

$200 : 2 = 100$

$100 : 2 = 50$

$50 : 2 = 25$

Число 25 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.

$25 : 5 = 5$

$5 : 5 = 1$

Таким образом, разложение числа 200: $200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2$.

Ответ: $200 = 2^3 \cdot 5^2$.

в) 288

Разложим число 288. Оно четное, делим на 2.

$288 : 2 = 144$

$144 : 2 = 72$

$72 : 2 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 : 2 = 9$

Число 9 делится на 3.

$9 : 3 = 3$

$3 : 3 = 1$

Следовательно, разложение числа 288: $288 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^2$.

Ответ: $288 = 2^5 \cdot 3^2$.

г) 256

Разложим число 256. Оно четное, делим на 2.

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление на 2 было выполнено восемь раз. Таким образом, разложение числа 256: $256 = 2^8$.

Ответ: $256 = 2^8$.

д) 333

Разложим число 333. Сумма его цифр $3+3+3=9$ делится на 3, значит, и само число делится на 3.

$333 : 3 = 111$

Сумма цифр числа 111 ($1+1+1=3$) также делится на 3.

$111 : 3 = 37$

Число 37 является простым. Таким образом, разложение числа 333: $333 = 3 \cdot 3 \cdot 37 = 3^2 \cdot 37$.

Ответ: $333 = 3^2 \cdot 37$.

е) 346

Разложим число 346. Оно четное, делим на 2.

$346 : 2 = 173$

Проверим, является ли число 173 простым. Оно не делится на 3 (сумма цифр 11), не оканчивается на 0 или 5. Проверим деление на другие простые числа: 7, 11, 13. $\sqrt{173} \approx 13.15$, поэтому достаточно проверить простые делители до 13.

$173 : 7 = 24$ (остаток 5)

$173 : 11 = 15$ (остаток 8)

$173 : 13 = 13$ (остаток 4)

Число 173 является простым. Следовательно, разложение числа 346: $346 = 2 \cdot 173$.

Ответ: $346 = 2 \cdot 173$.

ж) 512

Разложим число 512. Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2.

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Деление на 2 было выполнено девять раз. Таким образом, разложение числа 512: $512 = 2^9$.

Ответ: $512 = 2^9$.

з) 8100

Разложим число 8100. Его можно представить как произведение $81 \cdot 100$.

Разложим на множители 81: $81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Разложим на множители 100: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Объединяя множители, получаем: $8100 = 81 \cdot 100 = (3^4) \cdot (2^2 \cdot 5^2)$.

Запишем в порядке возрастания простых множителей: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

Ответ: $8100 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

и) 4096

Разложим число 4096. Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2.

$4096 : 2 = 2048$

$2048 : 2 = 1024$

$1024 : 2 = 512$

Из пункта ж) мы знаем, что $512 = 2^9$. Значит, $4096 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 512 = 2^3 \cdot 2^9 = 2^{12}$.

Таким образом, разложение числа 4096: $4096 = 2^{12}$.

Ответ: $4096 = 2^{12}$.

к) 2500

Разложим число 2500. Его можно представить как произведение $25 \cdot 100$.

Разложим 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Разложим 100: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Объединяя множители, получаем: $2500 = 25 \cdot 100 = 5^2 \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^2 \cdot 5^{2+2} = 2^2 \cdot 5^4$.

Ответ: $2500 = 2^2 \cdot 5^4$.

л) 888

Разложим число 888. Его можно представить как $8 \cdot 111$.

Разложим 8: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Разложим 111. Сумма цифр $1+1+1=3$ делится на 3, значит 111 делится на 3:

$111 : 3 = 37$.

Число 37 является простым.

Объединяя множители, получаем: $888 = 8 \cdot 111 = (2^3) \cdot (3 \cdot 37) = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.

Ответ: $888 = 2^3 \cdot 3 \cdot 37$.

м) 2525

Разложим число 2525. Можно заметить, что $2525 = 25 \cdot 101$.

Разложим 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Проверим, является ли число 101 простым. $\sqrt{101} \approx 10.05$. Проверяем простые делители до 10 (2, 3, 5, 7).

101 не делится на 2, 3, 5. Проверим 7: $101 : 7 = 14$ (остаток 3).

Число 101 является простым.

Следовательно, разложение числа 2525: $2525 = 25 \cdot 101 = 5^2 \cdot 101$.

Ответ: $2525 = 5^2 \cdot 101$.

658. Определите, является число простым или составным:

а) 89;

б) 123;

в) 279;

г) 335;

д) 642;

е) 601;

ж) 729;

з) 835;

и) 1571;

к) 2563;

л) 7777;

м) 442 233.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя.

а) 89
Чтобы определить, является ли число 89 простым, проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{89}$.
$\sqrt{89} \approx 9.4$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7.
1. Число 89 нечетное, значит, оно не делится на 2.
2. Сумма цифр числа 89 равна $8 + 9 = 17$. 17 не делится на 3, следовательно, 89 не делится на 3.
3. Число 89 не оканчивается на 0 или 5, значит, оно не делится на 5.
4. Проверим делимость на 7: $89 = 7 \times 12 + 5$. Число не делится на 7 без остатка.
Так как 89 не имеет простых делителей до $\sqrt{89}$, оно является простым числом.
Ответ: простое.

б) 123
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа 123 равна $1 + 2 + 3 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и число 123 делится на 3.
$123 = 3 \times 41$.
Поскольку число 123 имеет делители, отличные от 1 и самого себя (например, 3 и 41), оно является составным.
Ответ: составное.

в) 279
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа 279 равна $2 + 7 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 3 и на 9, то и число 279 делится на 3 и на 9.
$279 = 9 \times 31$.
Поскольку число 279 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.
Ответ: составное.

г) 335
Число 335 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5.
$335 = 5 \times 67$.
Поскольку число 335 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.
Ответ: составное.

д) 642
Число 642 оканчивается на цифру 2, значит, оно является четным и делится на 2.
$642 = 2 \times 321$.
Любое четное число больше 2 является составным.
Ответ: составное.

е) 601
Проверим делимость числа 601 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{601}$.
$\sqrt{601} \approx 24.5$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
- Не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр $6+0+1=7$, не делится на 3.
- Не оканчивается на 0 или 5, не делится на 5.
- $601 \div 7 = 85$ (ост. 6).
- $601 \div 11 = 54$ (ост. 7).
- $601 \div 13 = 46$ (ост. 3).
- $601 \div 17 = 35$ (ост. 6).
- $601 \div 19 = 31$ (ост. 12).
- $601 \div 23 = 26$ (ост. 3).
Так как 601 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{601}$, оно является простым.
Ответ: простое.

ж) 729
Сумма цифр числа 729 равна $7 + 2 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 729 делится на 9.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
Число является составным.
Ответ: составное.

з) 835
Число 835 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5.
$835 = 5 \times 167$.
Число является составным.
Ответ: составное.

и) 1571
Проверим делимость числа 1571 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{1571}$.
$\sqrt{1571} \approx 39.6$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
- Не делится на 2, 3 (сумма цифр 14), 5.
- $1571 \div 7 = 224$ (ост. 3).
- $1571 \div 11 = 142$ (ост. 9).
- $1571 \div 13 = 120$ (ост. 11).
- $1571 \div 17 = 92$ (ост. 7).
- $1571 \div 19 = 82$ (ост. 13).
- $1571 \div 23 = 68$ (ост. 7).
- $1571 \div 29 = 54$ (ост. 5).
- $1571 \div 31 = 50$ (ост. 21).
- $1571 \div 37 = 42$ (ост. 17).
Так как 1571 не делится ни на одно простое число до $\sqrt{1571}$, оно является простым.
Ответ: простое.

к) 2563
Проверим число по признакам делимости. Для проверки делимости на 11 найдем знакопеременную сумму цифр: $3 - 6 + 5 - 2 = 0$. Так как 0 делится на 11, то и число 2563 делится на 11.
$2563 = 11 \times 233$.
Число является составным.
Ответ: составное.

л) 7777
Очевидно, что число 7777 делится на 7.
$7777 = 7 \times 1111$.
Также можно заметить, что $7777 = 77 \times 101$.
Число является составным.
Ответ: составное.

м) 442 233
Проверим число по признакам делимости. Сумма цифр числа равна $4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 = 18$. Так как 18 делится на 3 и на 9, то и число 442 233 делится на 3 и на 9.
$442233 = 3 \times 147411$.
Число является составным.
Ответ: составное.

659. а) Подберите такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$.

б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$?

в) Можно ли подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$?

а) Дано равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1998$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

Заметим, что левую часть уравнения можно упростить, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3 \cdot (a + 2b) = 1998$

Теперь разделим обе части равенства на 3:

$a + 2b = \frac{1998}{3}$

$a + 2b = 666$

Нам нужно найти любую пару натуральных чисел ($a \geq 1, b \geq 1$), удовлетворяющую этому уравнению. Выразим $a$ через $b$:

$a = 666 - 2b$

Так как $a$ должно быть натуральным числом, то $a \geq 1$.

$666 - 2b \geq 1$

$665 \geq 2b$

$b \leq 332.5$

Это означает, что мы можем выбрать любое натуральное число $b$ в диапазоне от 1 до 332, и для него найдется соответствующее натуральное число $a$.

Например, выберем $b = 1$. Тогда:

$a = 666 - 2 \cdot 1 = 664$

Числа $a=664$ и $b=1$ являются натуральными. Проверим, подставив их в исходное равенство:

$3 \cdot 664 + 6 \cdot 1 = 1992 + 6 = 1998$.

Равенство выполняется.

Ответ: Например, можно подобрать $a=664$ и $b=1$.

б) Дано равенство $3 \cdot a + 6 \cdot b = 1999$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $3a + 6b$. Оба слагаемых, $3a$ и $6b$, кратны 3. Это означает, что их сумма также должна быть кратна 3. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3 \cdot (a + 2b)$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение $a+2b$ также является натуральным числом. Следовательно, левая часть уравнения $3(a+2b)$ всегда делится на 3 без остатка.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения — число 1999. Чтобы проверить, делится ли оно на 3, воспользуемся признаком делимости на 3: сложим все его цифры.

$1 + 9 + 9 + 9 = 28$

Число 28 не делится на 3 ($28 = 3 \cdot 9 + 1$). Следовательно, и число 1999 не делится на 3.

Получается противоречие: левая часть равенства всегда делится на 3, а правая — нет. Такое равенство не может быть верным ни для каких натуральных $a$ и $b$.

Ответ: Нельзя, так как левая часть равенства $(3a+6b)$ всегда делится на 3, а правая часть (1999) на 3 не делится.

в) Дано равенство $18 \cdot a + 81 \cdot b = 996$.

Чтобы это уравнение имело решение в натуральных (или даже в целых) числах, необходимо, чтобы правая часть (996) делилась на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов левой части (18 и 81).

Найдем НОД(18, 81).

Разложим числа на простые множители:
$18 = 2 \cdot 3^2$
$81 = 3^4$

НОД(18, 81) = $3^2 = 9$.

Левая часть уравнения, $18a + 81b$, всегда делится на 9, так как оба слагаемых делятся на 9. Это можно показать, вынеся 9 за скобки:

$9 \cdot (2a + 9b) = 996$

Из этого следует, что правая часть уравнения, число 996, также должна делиться на 9. Проверим это с помощью признака делимости на 9: сложим цифры числа 996.

$9 + 9 + 6 = 24$

Число 24 не делится на 9 ($24 = 9 \cdot 2 + 6$). Следовательно, и число 996 не делится на 9.

Мы снова пришли к противоречию: левая часть равенства для любых натуральных $a$ и $b$ делится на 9, а правая часть на 9 не делится. Значит, подобрать такие натуральные числа $a$ и $b$ невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.

660. а) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 8.

б) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 35.

а) Нам нужно найти набор чисел (множителей), произведение и сумма которых равны 8. Обозначим эти множители как $m_1, m_2, \dots, m_k$. Должны выполняться два условия:
1) Произведение: $m_1 \times m_2 \times \dots \times m_k = 8$
2) Сумма: $m_1 + m_2 + \dots + m_k = 8$
Ключ к решению заключается в использовании множителей, равных 1. Единица не меняет произведение, но увеличивает сумму.
Сначала найдем множители числа 8, которые больше 1. Например, возьмем числа 4 и 2.
Их произведение равно $4 \times 2 = 8$, что удовлетворяет первому условию.
Их сумма равна $4 + 2 = 6$. Это меньше требуемой суммы (8) на $8 - 6 = 2$.
Чтобы увеличить сумму до 8, не изменяя произведение, мы можем добавить два множителя, равных 1.
Таким образом, получаем набор множителей: 4, 2, 1, 1.
Проверим оба условия для этого набора:
Произведение: $4 \times 2 \times 1 \times 1 = 8$.
Сумма: $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.
Оба условия выполнены.
Ответ: Число 8 можно представить как произведение чисел 4, 2, 1, 1.

б) Действуем по аналогии для числа 35. Мы ищем набор множителей, произведение и сумма которых равны 35.
1) Произведение: $m_1 \times m_2 \times \dots \times m_k = 35$
2) Сумма: $m_1 + m_2 + \dots + m_k = 35$
Найдем множители числа 35, которые больше 1. Число 35 раскладывается на простые множители как $5 \times 7$.
Их произведение равно $5 \times 7 = 35$. Первое условие выполнено.
Их сумма равна $5 + 7 = 12$. Это меньше требуемой суммы (35).
Разницу в $35 - 12 = 23$ мы компенсируем, добавив 23 множителя, равных 1.
Таким образом, получаем набор множителей: 5, 7 и двадцать три множителя, равных 1.
Проверим оба условия для этого набора:
Произведение: $5 \times 7 \times \underbrace{1 \times \dots \times 1}_{23 \text{ множителя}} = 35$.
Сумма: $5 + 7 + \underbrace{1 + \dots + 1}_{23 \text{ слагаемых}} = 12 + 23 = 35$.
Оба условия выполнены.
Ответ: Число 35 можно представить как произведение чисел 5, 7 и двадцати трех множителей, равных 1.

661. a) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая своё мнение, он приводит примеры:

$3=2+1, 2 \cdot 1=2$ — простое число,

$5=3+1+1, 3 \cdot 1 \cdot 1=3$ — простое число и т. п. Приведите контрпример, показывающий, что Вася не прав.

б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным?

а)

Утверждение Васи заключается в том, что любое простое число $P$ можно представить в виде суммы натуральных чисел $P = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, произведение которых $Q = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ также является простым числом.

Рассмотрим, каким должно быть произведение $Q$, чтобы оно являлось простым числом. Простое число по определению имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Если бы в произведении $Q = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$ было хотя бы два множителя, больших единицы (например, $n_i > 1$ и $n_j > 1$), то число $Q$ было бы составным, так как оно делилось бы не только на 1 и $Q$, но и на $n_i$ и $n_j$. Следовательно, для того чтобы произведение было простым, все множители, кроме одного, должны быть равны 1. Тот единственный множитель, который не равен 1, сам должен быть простым числом. Обозначим это простое число через $q$.

Таким образом, набор слагаемых $\{n_1, n_2, \dots, n_k\}$ должен состоять из одного простого числа $q$ и некоторого количества единиц (пусть их будет $m$ штук). Тогда сумма этих чисел будет равна $P$, а их произведение — $q$.

Сумма: $P = q + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{m \text{ раз}} = q + m$.
Произведение: $Q = q \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{m \text{ раз}} = q$.

Примеры, которые приводит Вася ($3=2+1$, $5=3+1+1$), а также формулировка "в виде суммы натуральных чисел" (во множественном числе) позволяют предположить, что слагаемых должно быть как минимум два. Это означает, что число единиц $m$ должно быть не меньше 1 ($m \geq 1$).

Из равенства $P = q + m$ следует, что $m = P - q$. Условие $m \geq 1$ эквивалентно условию $P - q \geq 1$, или $P > q$.

Таким образом, утверждение Васи можно переформулировать так: для любого простого числа $P$ существует другое простое число $q$, которое строго меньше $P$.

Это утверждение справедливо для всех простых чисел, кроме наименьшего. Наименьшее простое число — это 2. Для $P=2$ не существует простого числа $q$, которое было бы меньше 2. Значит, для $P=2$ утверждение Васи неверно.

Проверим это напрямую. Единственный способ представить число 2 в виде суммы двух или более натуральных чисел — это $2 = 1 + 1$. Произведение этих слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$. Число 1 не является простым. Следовательно, число 2 является контрпримером.

Ответ: Контрпримером является простое число 2. Его можно представить в виде суммы натуральных чисел только как $2=1+1$. Произведение этих слагаемых равно $1 \cdot 1 = 1$, а 1 не является простым числом.

б)

Из разбора в пункте а) следует, что утверждение Васи не выполняется только для одного простого числа — 2. Для всех остальных простых чисел $P$ ($3, 5, 7, \dots$) утверждение верно, так как для любого простого $P>2$ всегда существует меньшее простое число (например, 2).

Чтобы утверждение стало верным, необходимо исключить тот единственный случай, для которого оно не работает. Следовательно, нужно уточнить, что речь идет о простых числах, больших двух.

Исправленное верное утверждение:

«Любое простое число, большее 2, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом».

Докажем это утверждение. Пусть $P$ — любое простое число, большее 2. Такое число обязательно является нечетным. Мы можем выбрать в качестве простого числа $q$ из нашего рассуждения число 2. Тогда количество единиц $m$ будет равно $P-2$. Поскольку $P \geq 3$, то $m=P-2 \geq 1$.

Таким образом, любое простое число $P > 2$ можно представить в виде суммы:

$P = 2 + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{P-2 \text{ слагаемых}}$

Сумма этих чисел действительно равна $2 + (P-2) = P$. Произведение этих чисел равно:

$2 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{P-2 \text{ множителей}} = 2$.

Число 2 является простым, поэтому такое представление удовлетворяет условию задачи. Например, для $P=11$ имеем $11 = 2+1+1+1+1+1+1+1+1+1$. Сумма равна 11, а произведение слагаемых равно 2, что является простым числом.

Ответ: Утверждение нужно исправить так: «Любое простое число, большее двух, можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом».