Страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

687. Являются ли взаимно простыми числа:

а) 12 и 25;

б) 40 и 39;

в) 55 и 42;

г) 22 и 51;

д) 48 и 49;

е) 39 и 50;

ж) 17 и 48;

з) 11 и 45;

и) 13 и 50?

Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно произведению этих чисел: $НОК(a, b) = a \cdot b$.

а) 12 и 25

Чтобы проверить, являются ли числа взаимно простыми, разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
У чисел 12 и 25 нет общих простых множителей, следовательно, $НОД(12, 25) = 1$. Значит, числа являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) для взаимно простых чисел равно их произведению:
$НОК(12, 25) = 12 \cdot 25 = 300$.

Ответ: Да, являются. НОК(12, 25) = 300.

б) 40 и 39

Разложим числа 40 и 39 на простые множители:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
$39 = 3 \cdot 13$
Общих простых множителей нет, поэтому $НОД(40, 39) = 1$. Числа 40 и 39 являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(40, 39) = 40 \cdot 39 = 1560$.

Ответ: Да, являются. НОК(40, 39) = 1560.

в) 55 и 42

Разложим числа 55 и 42 на простые множители:
$55 = 5 \cdot 11$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
У чисел 55 и 42 нет общих простых множителей, значит, $НОД(55, 42) = 1$. Числа являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(55, 42) = 55 \cdot 42 = 2310$.

Ответ: Да, являются. НОК(55, 42) = 2310.

г) 22 и 51

Разложим числа 22 и 51 на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$51 = 3 \cdot 17$
Так как у чисел нет общих простых множителей, их $НОД(22, 51) = 1$. Следовательно, числа 22 и 51 взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(22, 51) = 22 \cdot 51 = 1122$.

Ответ: Да, являются. НОК(22, 51) = 1122.

д) 48 и 49

Разложим числа 48 и 49 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$49 = 7 \cdot 7 = 7^2$
Общих простых множителей у чисел 48 и 49 нет. Их $НОД(48, 49) = 1$, поэтому они являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно произведению этих чисел:
$НОК(48, 49) = 48 \cdot 49 = 2352$.

Ответ: Да, являются. НОК(48, 49) = 2352.

е) 39 и 50

Разложим числа 39 и 50 на простые множители:
$39 = 3 \cdot 13$
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Так как у чисел нет общих простых множителей, их $НОД(39, 50) = 1$. Числа 39 и 50 взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(39, 50) = 39 \cdot 50 = 1950$.

Ответ: Да, являются. НОК(39, 50) = 1950.

ж) 17 и 48

Число 17 является простым. Разложим число 48 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
Число 48 не делится на 17. Следовательно, у чисел 17 и 48 нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(17, 48) = 1$, и они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(17, 48) = 17 \cdot 48 = 816$.

Ответ: Да, являются. НОК(17, 48) = 816.

з) 11 и 45

Число 11 является простым. Разложим число 45 на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Число 45 не делится на 11. Значит, у чисел 11 и 45 нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(11, 45) = 1$, и они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(11, 45) = 11 \cdot 45 = 495$.

Ответ: Да, являются. НОК(11, 45) = 495.

и) 13 и 50

Число 13 является простым. Разложим число 50 на простые множители:
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Число 50 не делится на 13. У этих чисел нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(13, 50) = 1$, следовательно, они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(13, 50) = 13 \cdot 50 = 650$.

Ответ: Да, являются. НОК(13, 50) = 650.

688. Найдите:

a) $НОК (4, 5)$;

б) $НОК (3, 11)$;

в) $НОК (7, 8)$;

г) $НОК (9, 10)$;

д) $НОК (5, 13)$;

е) $НОК (17, 3)$;

ж) $НОК (13, 11)$;

з) $НОК (10, 11)$;

и) $НОК (19, 20)$.

а) НОК (4, 5)

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Числа 4 и 5 являются взаимно простыми, так как они — последовательные натуральные числа, а любые два последовательных натуральных числа не имеют общих делителей, кроме 1. Для взаимно простых чисел их НОК равен их произведению.

НОК(4, 5) = $4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: 20

б) НОК (3, 11)

Числа 3 и 11 — простые числа. Два различных простых числа всегда являются взаимно простыми. Следовательно, их НОК равен их произведению.

НОК(3, 11) = $3 \cdot 11 = 33$.

Ответ: 33

в) НОК (7, 8)

Числа 7 и 8 являются последовательными натуральными числами, поэтому они взаимно просты. Их НОК равен их произведению.

НОК(7, 8) = $7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56

г) НОК (9, 10)

Числа 9 и 10 — последовательные натуральные числа, поэтому они взаимно просты. Их НОК можно найти, перемножив эти числа.

НОК(9, 10) = $9 \cdot 10 = 90$.

Ответ: 90

д) НОК (5, 13)

Числа 5 и 13 являются простыми числами. Так как это два разных простых числа, они взаимно просты. Их НОК равен их произведению.

НОК(5, 13) = $5 \cdot 13 = 65$.

Ответ: 65

е) НОК (17, 3)

Числа 17 и 3 — простые числа. Они взаимно просты, и их НОК находится как их произведение.

НОК(17, 3) = $17 \cdot 3 = 51$.

Ответ: 51

ж) НОК (13, 11)

Числа 13 и 11 являются простыми числами. Они взаимно просты, и их НОК равен их произведению.

НОК(13, 11) = $13 \cdot 11 = 143$.

Ответ: 143

з) НОК (10, 11)

Числа 10 и 11 являются последовательными натуральными числами, а значит, они взаимно просты. Их НОК равен их произведению.

НОК(10, 11) = $10 \cdot 11 = 110$.

Ответ: 110

и) НОК (19, 20)

Числа 19 и 20 являются последовательными натуральными числами, поэтому они взаимно просты. Их НОК равен их произведению.

НОК(19, 20) = $19 \cdot 20 = 380$.

Ответ: 380

689. Напишите пять пар чисел $a$ и $b$, чтобы $\text{НОК}(a, b)=a$.

Наименьшее общее кратное двух чисел $a$ и $b$, обозначаемое как НОК($a$, $b$), — это наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Согласно условию задачи, НОК($a$, $b$) = $a$. По определению, НОК($a$, $b$) всегда является кратным числа $a$. Также НОК($a$, $b$) должно быть кратным и числу $b$. Если НОК($a$, $b$) = $a$, это означает, что само число $a$ должно быть кратным числу $b$. Иными словами, $a$ должно делиться на $b$ нацело ($a \vdots b$).

Таким образом, чтобы найти требуемые пары чисел, нужно выбрать любое число $a$, а в качестве числа $b$ взять любой его делитель. Приведем пять примеров таких пар:
1. Пусть $a = 12$ и $b = 4$. Число $12$ делится на $4$, поэтому НОК($12$, $4$) = $12$.
2. Пусть $a = 20$ и $b = 5$. Число $20$ делится на $5$, поэтому НОК($20$, $5$) = $20$.
3. Пусть $a = 15$ и $b = 15$. Любое число делится само на себя, поэтому НОК($15$, $15$) = $15$.
4. Пусть $a = 9$ и $b = 1$. Любое число делится на $1$, поэтому НОК($9$, $1$) = $9$.
5. Пусть $a = 30$ и $b = 6$. Число $30$ делится на $6$, поэтому НОК($30$, $6$) = $30$.

Ответ: ($12$, $4$); ($20$, $5$); ($15$, $15$); ($9$, $1$); ($30$, $6$).

690. Найдите:

а) $\text{НОК}(36, 48)$;

б) $\text{НОК}(49, 50)$;

в) $\text{НОК}(14, 15)$;

г) $\text{НОК}(99, 100)$;

д) $\text{НОК}(28, 21)$;

е) $\text{НОК}(24, 23)$.

а) НОК (36, 48);

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа 36 и 48 на простые множители.

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$

Для нахождения НОК необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

НОК(36, 48) = $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

б) НОК (49, 50);

Разложим числа на простые множители:

$49 = 7^2$

$50 = 2 \cdot 5^2$

Так как у чисел 49 и 50 нет общих простых делителей, они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(49, 50) = $49 \cdot 50 = 2450$.

Ответ: 2450

в) НОК (14, 15);

Разложим числа на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

Числа 14 и 15 не имеют общих простых делителей, поэтому они взаимно простые. Их НОК равно их произведению.

НОК(14, 15) = $14 \cdot 15 = 210$.

Ответ: 210

г) НОК (99, 100);

Числа 99 и 100 являются последовательными, а значит, взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1). НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(99, 100) = $99 \cdot 100 = 9900$.

Ответ: 9900

д) НОК (28, 21);

Разложим числа 28 и 21 на простые множители:

$28 = 2^2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

Чтобы найти НОК, перемножим все простые множители, входящие в разложения, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени.

НОК(28, 21) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

е) НОК (24, 23).

Число 23 является простым, а число 24 на 23 не делится. Следовательно, числа 24 и 23 являются взаимно простыми. Кроме того, это последовательные числа. Их НОК равно их произведению.

НОК(24, 23) = $24 \cdot 23 = 552$.

Ответ: 552

691. Найдите:

а) $\text{НОК} (19, 10)$;

б) $\text{НОК} (11, 110)$;

в) $\text{НОК} (26, 52)$;

г) $\text{НОК} (11, 23)$;

д) $\text{НОК} (88, 66)$;

е) $\text{НОК} (198, 9)$.

а) Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 19 и 10.

Число 19 является простым. Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Так как у чисел 19 и 10 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

$НОК(19, 10) = 19 \cdot 10 = 190$.

Ответ: 190

б) Найдем НОК для чисел 11 и 110.

Заметим, что число 110 делится на 11 без остатка: $110 : 11 = 10$.

Если одно число делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел.

Следовательно, $НОК(11, 110) = 110$.

Ответ: 110

в) Найдем НОК для чисел 26 и 52.

Заметим, что число 52 делится на 26 без остатка: $52 : 26 = 2$.

Так как 52 является кратным 26, наименьшее общее кратное этих чисел будет равно большему из них.

Следовательно, $НОК(26, 52) = 52$.

Ответ: 52

г) Найдем НОК для чисел 11 и 23.

Числа 11 и 23 являются простыми числами. Простые числа, отличные друг от друга, всегда взаимно простые.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

$НОК(11, 23) = 11 \cdot 23 = 253$.

Ответ: 253

д) Найдем НОК для чисел 88 и 66.

Для нахождения НОК разложим оба числа на простые множители:

$88 = 8 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$

$66 = 6 \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

Берем множитель 2 в наибольшей степени ($2^3$), множитель 3 ($3^1$) и множитель 11 ($11^1$).

$НОК(88, 66) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 11^1 = 8 \cdot 3 \cdot 11 = 24 \cdot 11 = 264$.

Ответ: 264

е) Найдем НОК для чисел 198 и 9.

Проверим, делится ли 198 на 9. Сумма цифр числа 198 равна $1 + 9 + 8 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18:9=2$), то и 198 делится на 9.

$198 : 9 = 22$.

Поскольку 198 является кратным 9, их наименьшее общее кратное будет равно большему из чисел.

Следовательно, $НОК(198, 9) = 198$.

Ответ: 198

692. Ученица нашла $НОК (33, 198) = 99$. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

$НОК (33, 198) = 99$

Учитель смог определить ошибку, не проверяя вычисления, благодаря знанию основного свойства наименьшего общего кратного (НОК).

По определению, наименьшее общее кратное двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Из этого определения следует важное свойство: НОК двух чисел не может быть меньше большего из этих чисел. Математически это можно записать так: для любых натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо, что $НОК(a, b) \geq a$ и $НОК(a, b) \geq b$.

В данном случае ищут $НОК(33, 198)$. Большее из этих чисел равно 198. Следовательно, их НОК должно быть числом, не меньшим чем 198.

Ученица получила ответ 99. Так как $99 < 198$, этот результат не может быть правильным. Любое общее кратное чисел 33 и 198 должно делиться на 198, а число 99 на 198 не делится. Именно это несоответствие и позволило учителю моментально обнаружить ошибку.

Ответ: Учитель определил, что допущена ошибка, так как наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел не может быть меньше большего из этих чисел. В данном случае $НОК(33, 198)$ не может быть меньше 198. Ответ ученицы, 99, меньше 198, следовательно, он неверный.

693. Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

б) делится на все делители этих чисел.

а) не может быть меньше любого из этих чисел

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело (является кратным) на каждое из этих чисел.
Обозначим НОК чисел $a$ и $b$ как $M$.
Поскольку $M$ является кратным числу $a$, это означает, что $M$ можно представить в виде произведения $M = k \cdot a$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).
Так как $k$ — натуральное число, то оно не может быть меньше 1. Следовательно, наименьшее возможное значение произведения $k \cdot a$ равно $1 \cdot a = a$. Значит, $M \ge a$.
Аналогично, поскольку $M$ является кратным числу $b$, это означает, что $M = l \cdot b$, где $l$ — некоторое натуральное число ($l \ge 1$).
Отсюда следует, что $M \ge b$.
Таким образом, НОК двух чисел всегда больше или равно каждому из этих чисел ($M \ge a$ и $M \ge b$), и, следовательно, не может быть меньше ни одного из них.
Ответ: Наименьшее общее кратное по определению является кратным каждого из данных чисел. Любое кратное натурального числа не может быть меньше самого этого числа (оно либо равно ему, если множитель равен 1, либо больше).

б) делится на все делители этих чисел

Рассмотрим два натуральных числа $a$ и $b$. Обозначим их НОК как $M$.
Пусть $d$ — любой делитель числа $a$. Это означает, что число $a$ делится на $d$ без остатка. Математически это записывается как $a \vdots d$.
По определению НОК, число $M$ делится на $a$ без остатка, то есть $M \vdots a$.
Мы имеем два утверждения: $M$ делится на $a$, и $a$ делится на $d$.
В математике существует свойство транзитивности делимости: если число $x$ делится на число $y$, а число $y$ делится на число $z$, то число $x$ также делится на число $z$.
Применив это свойство к нашей задаче, получаем: так как $M \vdots a$ и $a \vdots d$, то из этого следует, что $M \vdots d$.
Это можно показать и с помощью уравнений:
Если $M \vdots a$, то существует такое натуральное число $k$, что $M = k \cdot a$.
Если $a \vdots d$, то существует такое натуральное число $l$, что $a = l \cdot d$.
Теперь подставим второе равенство в первое: $M = k \cdot (l \cdot d) = (k \cdot l) \cdot d$.
Так как $k$ и $l$ — натуральные числа, их произведение $(k \cdot l)$ также является натуральным числом. Это равенство показывает, что $M$ делится на $d$ без остатка.
Аналогичное рассуждение справедливо и для любого делителя числа $b$.
Таким образом, НОК двух чисел делится на все делители каждого из этих чисел.
Ответ: Так как НОК делится на каждое из данных чисел, а каждое из этих чисел, в свою очередь, делится на любой свой делитель, то по свойству транзитивности делимости НОК делится на все делители этих чисел.

694. Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК (a, b).

a) $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$,

$b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$;

б) $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$,

$b = 3^2 \cdot 5^3$.

(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)

а) Даны числа $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$ и $b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД), необходимо взять произведение общих простых множителей, каждый в наименьшей степени, в которой он входит в разложения чисел. Общими множителями для $a$ и $b$ являются 2, 3 и 5. Для множителя 2 наименьшая степень равна $min(3, 4) = 3$. Для множителя 3 наименьшая степень равна $min(4, 5) = 4$. Для множителя 5 наименьшая степень равна $min(1, 2) = 1$. Таким образом, НОД($a, b$) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^1 = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$.

Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК), необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, каждый в наибольшей степени. Множителями являются 2, 3 и 5. Для множителя 2 наибольшая степень равна $max(3, 4) = 4$. Для множителя 3 наибольшая степень равна $max(4, 5) = 5$. Для множителя 5 наибольшая степень равна $max(1, 2) = 2$. Таким образом, НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Ответ: НОД($a, b$) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$; НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

б) Даны числа $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ и $b = 3^2 \cdot 5^3$.

Для нахождения НОД($a, b$) составляем произведение общих простых множителей в наименьших степенях. Общие множители: 3 и 5. Множитель 2 не является общим, так как он отсутствует в разложении числа $b$. Наименьшая степень для 3: $min(3, 2) = 2$. Наименьшая степень для 5: $min(2, 3) = 2$. Следовательно, НОД($a, b$) = $3^2 \cdot 5^2$.

Для нахождения НОК($a, b$) составляем произведение всех простых множителей, входящих в разложения, в наибольших степенях. Все множители: 2, 3 и 5. Наибольшая степень для 2: $max(2, 0) = 2$ (считаем, что в разложении $b$ множитель 2 находится в степени 0, так как $2^0 = 1$). Наибольшая степень для 3: $max(3, 2) = 3$. Наибольшая степень для 5: $max(2, 3) = 3$. Следовательно, НОК($a, b$) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

Ответ: НОД($a, b$) = $3^2 \cdot 5^2$; НОК($a, b$) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

695. Убедитесь, что $\text{НОД}(36, 24) \cdot \text{НОК}(36, 24) = 36 \cdot 24$. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Убедитесь, что НОД (36, 24) · НОК (36, 24) = 36 · 24

Для проверки этого равенства необходимо найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел 36 и 24. Удобнее всего это сделать, разложив числа на простые множители.

1. Разложение на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

2. Нахождение НОД.

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени:

НОД(36, 24) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

3. Нахождение НОК.

Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители из разложений, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени:

НОК(36, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

4. Проверка равенства.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

Левая часть: НОД(36, 24) · НОК(36, 24) = $12 \cdot 72 = 864$.

Правая часть: $36 \cdot 24 = 864$.

Поскольку $864 = 864$, равенство подтверждено.

Ответ: Равенство НОД (36, 24) · НОК (36, 24) = 36 · 24 выполняется, так как обе части равны 864.

Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Да, это свойство выполняется для любой пары натуральных чисел. Это одно из основных свойств НОД и НОК, которое можно сформулировать в виде теоремы: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя двух натуральных чисел равно произведению этих чисел.

Формула в общем виде:

НОД(a, b) · НОК(a, b) = $a \cdot b$

Проверим это свойство на другом примере, например, для чисел 10 и 15.

1. Найдём НОД(10, 15).

Делители 10: 1, 2, 5, 10.

Делители 15: 1, 3, 5, 15.

Общие делители: 1, 5. Наибольший общий делитель равен 5. НОД(10, 15) = 5.

2. Найдём НОК(10, 15).

Кратные 10: 10, 20, 30, 40, ...

Кратные 15: 15, 30, 45, ...

Наименьшее общее кратное равно 30. НОК(10, 15) = 30.

3. Проверим равенство.

НОД(10, 15) · НОК(10, 15) = $5 \cdot 30 = 150$.

$10 \cdot 15 = 150$.

Равенство $150 = 150$ выполняется.

Ответ: Да, это свойство выполняется для любых других пар натуральных чисел.

696. Докажите, что $\text{НОД} (a, b) \cdot \text{НОК} (a, b) = a \cdot b$:

а) для взаимно простых чисел;

б) для любых чисел.

а) для взаимно простых чисел

По определению, натуральные числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. То есть, $НОД(a, b) = 1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух взаимно простых чисел равно их произведению. Это связано с тем, что у них нет общих простых множителей, поэтому наименьшее число, которое делится и на $a$, и на $b$, должно содержать все простые множители числа $a$ и все простые множители числа $b$. Таким образом, $НОК(a, b) = a \cdot b$.

Теперь подставим полученные значения $НОД(a, b)$ и $НОК(a, b)$ в левую часть доказываемого равенства:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = 1 \cdot (a \cdot b) = a \cdot b$.

В результате получаем, что левая часть равенства равна правой: $a \cdot b = a \cdot b$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) для любых чисел

Пусть $a$ и $b$ — произвольные натуральные числа. Разложим их на простые множители. Пусть $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — это все простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$. Тогда их канонические разложения можно записать в виде:

$a = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$

$b = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}$

(Здесь некоторые из показателей степени $k_i$ или $m_i$ могут быть равны нулю, если соответствующий простой множитель отсутствует в разложении числа).

Согласно правилам нахождения НОД и НОК через разложение на простые множители, для каждого простого множителя $p_i$ в разложении НОД берется минимальная степень, а в разложении НОК — максимальная:

$НОД(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1)} \cdot p_2^{\min(k_2, m_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n)}$

$НОК(a, b) = p_1^{\max(k_1, m_1)} \cdot p_2^{\max(k_2, m_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(k_n, m_n)}$

Найдем произведение НОД и НОК:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = (p_1^{\min(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n)}) \cdot (p_1^{\max(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(k_n, m_n)})$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1) + \max(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n) + \max(k_n, m_n)}$

Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо свойство: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к каждому показателю степени в нашем выражении:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{k_1+m_1} \cdot p_2^{k_2+m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n+m_n}$

Теперь перегруппируем множители в правой части равенства:

$(p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}) \cdot (p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}) = a \cdot b$

Таким образом, мы доказали, что $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$ для любых натуральных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Доказано.