Номер 687, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

687. Являются ли взаимно простыми числа:

а) 12 и 25;

б) 40 и 39;

в) 55 и 42;

г) 22 и 51;

д) 48 и 49;

е) 39 и 50;

ж) 17 и 48;

з) 11 и 45;

и) 13 и 50?

Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно произведению этих чисел: $НОК(a, b) = a \cdot b$.

а) 12 и 25

Чтобы проверить, являются ли числа взаимно простыми, разложим их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
У чисел 12 и 25 нет общих простых множителей, следовательно, $НОД(12, 25) = 1$. Значит, числа являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) для взаимно простых чисел равно их произведению:
$НОК(12, 25) = 12 \cdot 25 = 300$.

Ответ: Да, являются. НОК(12, 25) = 300.

б) 40 и 39

Разложим числа 40 и 39 на простые множители:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
$39 = 3 \cdot 13$
Общих простых множителей нет, поэтому $НОД(40, 39) = 1$. Числа 40 и 39 являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(40, 39) = 40 \cdot 39 = 1560$.

Ответ: Да, являются. НОК(40, 39) = 1560.

в) 55 и 42

Разложим числа 55 и 42 на простые множители:
$55 = 5 \cdot 11$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
У чисел 55 и 42 нет общих простых множителей, значит, $НОД(55, 42) = 1$. Числа являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(55, 42) = 55 \cdot 42 = 2310$.

Ответ: Да, являются. НОК(55, 42) = 2310.

г) 22 и 51

Разложим числа 22 и 51 на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$51 = 3 \cdot 17$
Так как у чисел нет общих простых множителей, их $НОД(22, 51) = 1$. Следовательно, числа 22 и 51 взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(22, 51) = 22 \cdot 51 = 1122$.

Ответ: Да, являются. НОК(22, 51) = 1122.

д) 48 и 49

Разложим числа 48 и 49 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$49 = 7 \cdot 7 = 7^2$
Общих простых множителей у чисел 48 и 49 нет. Их $НОД(48, 49) = 1$, поэтому они являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно произведению этих чисел:
$НОК(48, 49) = 48 \cdot 49 = 2352$.

Ответ: Да, являются. НОК(48, 49) = 2352.

е) 39 и 50

Разложим числа 39 и 50 на простые множители:
$39 = 3 \cdot 13$
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Так как у чисел нет общих простых множителей, их $НОД(39, 50) = 1$. Числа 39 и 50 взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению:
$НОК(39, 50) = 39 \cdot 50 = 1950$.

Ответ: Да, являются. НОК(39, 50) = 1950.

ж) 17 и 48

Число 17 является простым. Разложим число 48 на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
Число 48 не делится на 17. Следовательно, у чисел 17 и 48 нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(17, 48) = 1$, и они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(17, 48) = 17 \cdot 48 = 816$.

Ответ: Да, являются. НОК(17, 48) = 816.

з) 11 и 45

Число 11 является простым. Разложим число 45 на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
Число 45 не делится на 11. Значит, у чисел 11 и 45 нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(11, 45) = 1$, и они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(11, 45) = 11 \cdot 45 = 495$.

Ответ: Да, являются. НОК(11, 45) = 495.

и) 13 и 50

Число 13 является простым. Разложим число 50 на простые множители:
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
Число 50 не делится на 13. У этих чисел нет общих делителей, кроме 1. Их $НОД(13, 50) = 1$, следовательно, они взаимно простые.
Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно их произведению:
$НОК(13, 50) = 13 \cdot 50 = 650$.

Ответ: Да, являются. НОК(13, 50) = 650.