Номер 693, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

693. Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:

а) не может быть меньше любого из этих чисел;

б) делится на все делители этих чисел.

а) не может быть меньше любого из этих чисел

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело (является кратным) на каждое из этих чисел.
Обозначим НОК чисел $a$ и $b$ как $M$.
Поскольку $M$ является кратным числу $a$, это означает, что $M$ можно представить в виде произведения $M = k \cdot a$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).
Так как $k$ — натуральное число, то оно не может быть меньше 1. Следовательно, наименьшее возможное значение произведения $k \cdot a$ равно $1 \cdot a = a$. Значит, $M \ge a$.
Аналогично, поскольку $M$ является кратным числу $b$, это означает, что $M = l \cdot b$, где $l$ — некоторое натуральное число ($l \ge 1$).
Отсюда следует, что $M \ge b$.
Таким образом, НОК двух чисел всегда больше или равно каждому из этих чисел ($M \ge a$ и $M \ge b$), и, следовательно, не может быть меньше ни одного из них.
Ответ: Наименьшее общее кратное по определению является кратным каждого из данных чисел. Любое кратное натурального числа не может быть меньше самого этого числа (оно либо равно ему, если множитель равен 1, либо больше).

б) делится на все делители этих чисел

Рассмотрим два натуральных числа $a$ и $b$. Обозначим их НОК как $M$.
Пусть $d$ — любой делитель числа $a$. Это означает, что число $a$ делится на $d$ без остатка. Математически это записывается как $a \vdots d$.
По определению НОК, число $M$ делится на $a$ без остатка, то есть $M \vdots a$.
Мы имеем два утверждения: $M$ делится на $a$, и $a$ делится на $d$.
В математике существует свойство транзитивности делимости: если число $x$ делится на число $y$, а число $y$ делится на число $z$, то число $x$ также делится на число $z$.
Применив это свойство к нашей задаче, получаем: так как $M \vdots a$ и $a \vdots d$, то из этого следует, что $M \vdots d$.
Это можно показать и с помощью уравнений:
Если $M \vdots a$, то существует такое натуральное число $k$, что $M = k \cdot a$.
Если $a \vdots d$, то существует такое натуральное число $l$, что $a = l \cdot d$.
Теперь подставим второе равенство в первое: $M = k \cdot (l \cdot d) = (k \cdot l) \cdot d$.
Так как $k$ и $l$ — натуральные числа, их произведение $(k \cdot l)$ также является натуральным числом. Это равенство показывает, что $M$ делится на $d$ без остатка.
Аналогичное рассуждение справедливо и для любого делителя числа $b$.
Таким образом, НОК двух чисел делится на все делители каждого из этих чисел.
Ответ: Так как НОК делится на каждое из данных чисел, а каждое из этих чисел, в свою очередь, делится на любой свой делитель, то по свойству транзитивности делимости НОК делится на все делители этих чисел.