Номер 695, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

695. Убедитесь, что $\text{НОД}(36, 24) \cdot \text{НОК}(36, 24) = 36 \cdot 24$. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Убедитесь, что НОД (36, 24) · НОК (36, 24) = 36 · 24

Для проверки этого равенства необходимо найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел 36 и 24. Удобнее всего это сделать, разложив числа на простые множители.

1. Разложение на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

2. Нахождение НОД.

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени:

НОД(36, 24) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

3. Нахождение НОК.

Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители из разложений, взяв каждый из них с наибольшим показателем степени:

НОК(36, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

4. Проверка равенства.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

Левая часть: НОД(36, 24) · НОК(36, 24) = $12 \cdot 72 = 864$.

Правая часть: $36 \cdot 24 = 864$.

Поскольку $864 = 864$, равенство подтверждено.

Ответ: Равенство НОД (36, 24) · НОК (36, 24) = 36 · 24 выполняется, так как обе части равны 864.

Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Да, это свойство выполняется для любой пары натуральных чисел. Это одно из основных свойств НОД и НОК, которое можно сформулировать в виде теоремы: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя двух натуральных чисел равно произведению этих чисел.

Формула в общем виде:

НОД(a, b) · НОК(a, b) = $a \cdot b$

Проверим это свойство на другом примере, например, для чисел 10 и 15.

1. Найдём НОД(10, 15).

Делители 10: 1, 2, 5, 10.

Делители 15: 1, 3, 5, 15.

Общие делители: 1, 5. Наибольший общий делитель равен 5. НОД(10, 15) = 5.

2. Найдём НОК(10, 15).

Кратные 10: 10, 20, 30, 40, ...

Кратные 15: 15, 30, 45, ...

Наименьшее общее кратное равно 30. НОК(10, 15) = 30.

3. Проверим равенство.

НОД(10, 15) · НОК(10, 15) = $5 \cdot 30 = 150$.

$10 \cdot 15 = 150$.

Равенство $150 = 150$ выполняется.

Ответ: Да, это свойство выполняется для любых других пар натуральных чисел.