Номер 696, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

696. Докажите, что $\text{НОД} (a, b) \cdot \text{НОК} (a, b) = a \cdot b$:

а) для взаимно простых чисел;

б) для любых чисел.

а) для взаимно простых чисел

По определению, натуральные числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. То есть, $НОД(a, b) = 1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух взаимно простых чисел равно их произведению. Это связано с тем, что у них нет общих простых множителей, поэтому наименьшее число, которое делится и на $a$, и на $b$, должно содержать все простые множители числа $a$ и все простые множители числа $b$. Таким образом, $НОК(a, b) = a \cdot b$.

Теперь подставим полученные значения $НОД(a, b)$ и $НОК(a, b)$ в левую часть доказываемого равенства:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = 1 \cdot (a \cdot b) = a \cdot b$.

В результате получаем, что левая часть равенства равна правой: $a \cdot b = a \cdot b$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) для любых чисел

Пусть $a$ и $b$ — произвольные натуральные числа. Разложим их на простые множители. Пусть $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — это все простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$. Тогда их канонические разложения можно записать в виде:

$a = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$

$b = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}$

(Здесь некоторые из показателей степени $k_i$ или $m_i$ могут быть равны нулю, если соответствующий простой множитель отсутствует в разложении числа).

Согласно правилам нахождения НОД и НОК через разложение на простые множители, для каждого простого множителя $p_i$ в разложении НОД берется минимальная степень, а в разложении НОК — максимальная:

$НОД(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1)} \cdot p_2^{\min(k_2, m_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n)}$

$НОК(a, b) = p_1^{\max(k_1, m_1)} \cdot p_2^{\max(k_2, m_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(k_n, m_n)}$

Найдем произведение НОД и НОК:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = (p_1^{\min(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n)}) \cdot (p_1^{\max(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(k_n, m_n)})$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1) + \max(k_1, m_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(k_n, m_n) + \max(k_n, m_n)}$

Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ справедливо свойство: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к каждому показателю степени в нашем выражении:

$НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = p_1^{k_1+m_1} \cdot p_2^{k_2+m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n+m_n}$

Теперь перегруппируем множители в правой части равенства:

$(p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}) \cdot (p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}) = a \cdot b$

Таким образом, мы доказали, что $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$ для любых натуральных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Доказано.