Номер 694, страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

694. Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК (a, b).

a) $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$,

$b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$;

б) $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$,

$b = 3^2 \cdot 5^3$.

(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)

а) Даны числа $a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$ и $b = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД), необходимо взять произведение общих простых множителей, каждый в наименьшей степени, в которой он входит в разложения чисел. Общими множителями для $a$ и $b$ являются 2, 3 и 5. Для множителя 2 наименьшая степень равна $min(3, 4) = 3$. Для множителя 3 наименьшая степень равна $min(4, 5) = 4$. Для множителя 5 наименьшая степень равна $min(1, 2) = 1$. Таким образом, НОД($a, b$) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^1 = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$.

Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК), необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, каждый в наибольшей степени. Множителями являются 2, 3 и 5. Для множителя 2 наибольшая степень равна $max(3, 4) = 4$. Для множителя 3 наибольшая степень равна $max(4, 5) = 5$. Для множителя 5 наибольшая степень равна $max(1, 2) = 2$. Таким образом, НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

Ответ: НОД($a, b$) = $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5$; НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^2$.

б) Даны числа $a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ и $b = 3^2 \cdot 5^3$.

Для нахождения НОД($a, b$) составляем произведение общих простых множителей в наименьших степенях. Общие множители: 3 и 5. Множитель 2 не является общим, так как он отсутствует в разложении числа $b$. Наименьшая степень для 3: $min(3, 2) = 2$. Наименьшая степень для 5: $min(2, 3) = 2$. Следовательно, НОД($a, b$) = $3^2 \cdot 5^2$.

Для нахождения НОК($a, b$) составляем произведение всех простых множителей, входящих в разложения, в наибольших степенях. Все множители: 2, 3 и 5. Наибольшая степень для 2: $max(2, 0) = 2$ (считаем, что в разложении $b$ множитель 2 находится в степени 0, так как $2^0 = 1$). Наибольшая степень для 3: $max(3, 2) = 3$. Наибольшая степень для 5: $max(2, 3) = 3$. Следовательно, НОК($a, b$) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.

Ответ: НОД($a, b$) = $3^2 \cdot 5^2$; НОК($a, b$) = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3$.