Страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

662. а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.

б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?

в) Известно, что число $a$ делится нацело на число $b$. Чему равен НОД $(a, b)$?

а) Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у этих чисел нет других общих положительных делителей, кроме единицы.

Примеры взаимно простых чисел:

• Числа 8 и 15. Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}. Делители числа 15: {1, 3, 5, 15}. Их единственный общий делитель — 1, следовательно, $НОД(8, 15) = 1$.
• Числа 9 и 10. Делители числа 9: {1, 3, 9}. Делители числа 10: {1, 2, 5, 10}. Их единственный общий делитель — 1, следовательно, $НОД(9, 10) = 1$.
• Числа 7 и 11. Различные простые числа всегда являются взаимно простыми, так как у них есть только один общий делитель — 1. $НОД(7, 11) = 1$.

Ответ: Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых наибольший общий делитель равен 1. Примеры: 8 и 15; 9 и 10; 7 и 11.

б) По определению, взаимно простыми числами являются числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Следовательно, наибольший общий делитель любых взаимно простых чисел равен 1.

Ответ: 1.

в) Если число $a$ делится нацело на число $b$, это значит, что $b$ является делителем числа $a$. Множество общих делителей для $a$ и $b$ — это все числа, на которые делятся и $a$, и $b$. Поскольку любой делитель числа $b$ также является и делителем числа $a$ (по условию), то множество общих делителей чисел $a$ и $b$ совпадает с множеством делителей числа $b$. Самым большим делителем числа $b$ является само число $b$. Следовательно, наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $b$.

Ответ: $b$.

663. Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60.

Найдите все делители чисел 45 и 60

Делитель — это число, на которое другое число делится без остатка. Чтобы найти все делители, можно разложить числа на простые множители или последовательно проверять числа.

Для числа 45:
$45 : 1 = 45$
$45 : 3 = 15$
$45 : 5 = 9$
Выпишем все найденные делители в порядке возрастания.
Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Для числа 60:
$60 : 1 = 60$
$60 : 2 = 30$
$60 : 3 = 20$
$60 : 4 = 15$
$60 : 5 = 12$
$60 : 6 = 10$
Выпишем все найденные делители в порядке возрастания.
Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Ответ: Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Найдите все общие делители чисел 45 и 60

Общие делители — это числа, которые являются делителями для каждого из данных чисел. Чтобы найти общие делители для 45 и 60, сравним списки их делителей.

Делители 45: {1, 3, 5, 9, 15, 45}.
Делители 60: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.

Выберем числа, которые присутствуют в обоих списках. Это числа 1, 3, 5 и 15.

Ответ: 1, 3, 5, 15.

664. Найдите:

a) $ \text{НОД}(30, 36) $;

б) $ \text{НОД}(50, 45) $;

в) $ \text{НОД}(42, 48) $;

г) $ \text{НОД}(120, 150) $;

д) $ \text{НОД}(124, 93) $;

е) $ \text{НОД}(46, 69) $.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, найти общие простые множители и перемножить их.

а) Найдём НОД (30, 36).

Разложим числа 30 и 36 на простые множители:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

Общие множители в разложениях этих чисел — это 2 и 3. Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

НОД (30, 36) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

б) Найдём НОД (50, 45).

Разложим числа 50 и 45 на простые множители:

$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$

$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Общий множитель в разложениях этих чисел — это 5.

НОД (50, 45) = 5.

Ответ: 5.

в) Найдём НОД (42, 48).

Разложим числа 42 и 48 на простые множители:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

Общие множители в разложениях этих чисел — это 2 и 3.

НОД (42, 48) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

г) Найдём НОД (120, 150).

Разложим числа 120 и 150 на простые множители:

$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Общие множители в разложениях этих чисел — это 2, 3 и 5.

НОД (120, 150) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30.

д) Найдём НОД (124, 93).

Разложим числа 124 и 93 на простые множители:

$124 = 2 \cdot 2 \cdot 31 = 2^2 \cdot 31$

$93 = 3 \cdot 31$

Общий множитель в разложениях этих чисел — это 31.

НОД (124, 93) = 31.

Ответ: 31.

е) Найдём НОД (46, 69).

Разложим числа 46 и 69 на простые множители:

$46 = 2 \cdot 23$

$69 = 3 \cdot 23$

Общий множитель в разложениях этих чисел — это 23.

НОД (46, 69) = 23.

Ответ: 23.

665. Найдите:

а) $ \text{НОД}(24, 48) $;

б) $ \text{НОД}(62; 31) $;

в) $ \text{НОД}(132, 11) $;

г) $ \text{НОД}(256, 32) $;

д) $ \text{НОД}(45, 15) $;

е) $ \text{НОД}(21, 63) $.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 24 и 48, воспользуемся правилом: если одно из двух натуральных чисел делится на другое, то меньшее из этих чисел и является их наибольшим общим делителем.
Проверим, делится ли 48 на 24:
$48 \div 24 = 2$
Поскольку 48 делится на 24 без остатка, то НОД(24, 48) равен меньшему из этих чисел.
НОД(24, 48) = 24.
Ответ: 24.

б) Найдем НОД чисел 62 и 31. Проверим, делится ли большее число на меньшее.
$62 \div 31 = 2$
Так как 62 кратно 31, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
НОД(62, 31) = 31.
Ответ: 31.

в) Найдем НОД чисел 132 и 11. Проверим делимость 132 на 11.
$132 \div 11 = 12$
Поскольку деление выполняется без остатка, наименьшее из этих чисел, то есть 11, является их наибольшим общим делителем.
НОД(132, 11) = 11.
Ответ: 11.

г) Найдем НОД чисел 256 и 32. Проверим, делится ли 256 на 32.
$256 \div 32 = 8$
Так как 256 делится на 32 нацело, то НОД этих чисел равен меньшему из них.
НОД(256, 32) = 32.
Ответ: 32.

д) Найдем НОД чисел 45 и 15. Проверим делимость большего числа на меньшее.
$45 \div 15 = 3$
Деление выполняется без остатка, значит, НОД этих двух чисел равен меньшему числу.
НОД(45, 15) = 15.
Ответ: 15.

е) Найдем НОД чисел 21 и 63. Проверим, делится ли 63 на 21.
$63 \div 21 = 3$
Поскольку число 63 делится на 21 без остатка, их наибольший общий делитель будет равен меньшему из этих двух чисел.
НОД(21, 63) = 21.
Ответ: 21.

666. Число 12 321 делится на 111. Найдите $НОД(12321, 111)$.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

По условию задачи нам известно, что число 12321 делится на 111. Это означает, что 111 является делителем числа 12321.

Любое число является делителем самого себя, следовательно, 111 также является делителем числа 111.

Поскольку 111 является делителем и для 12321, и для 111, оно является их общим делителем.

Наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел. В данном случае, НОД(12321, 111) не может быть больше 111.

Так как мы нашли общий делитель, равный 111, и он является максимально возможным, то он и есть наибольший общий делитель.

Существует общее правило: если число $a$ делится нацело на число $b$, то их наибольший общий делитель равен $b$.

$НОД(a, b) = b$, если $a$ кратно $b$.

Применяя это правило к нашей задаче, получаем:

$НОД(12321, 111) = 111$

Ответ: 111

667. Найдите:

а) $НОД(14, 7);$

б) $НОД(26, 13);$

в) $НОД(48, 8);$

г) $НОД(64, 16);$

д) $НОД(45, 9);$

е) $НОД(11, 66).$

а) НОД (14, 7)
Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое делятся без остатка оба данных числа.Во всех представленных случаях одно из чисел делится на другое. Если одно натуральное число делится нацело на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.Проверим для пары (14, 7): число 14 делится на 7 без остатка, так как $14 \div 7 = 2$.Следовательно, НОД (14, 7) равен меньшему числу, то есть 7.
Ответ: 7

б) НОД (26, 13)
Число 26 делится на 13 без остатка: $26 \div 13 = 2$.Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.НОД (26, 13) = 13.
Ответ: 13

в) НОД (48, 8)
Число 48 делится на 8 без остатка: $48 \div 8 = 6$.Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.НОД (48, 8) = 8.
Ответ: 8

г) НОД (64, 16)
Число 64 делится на 16 без остатка: $64 \div 16 = 4$.Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.НОД (64, 16) = 16.
Ответ: 16

д) НОД (45, 9)
Число 45 делится на 9 без остатка: $45 \div 9 = 5$.Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.НОД (45, 9) = 9.
Ответ: 9

е) НОД (11, 66)
Число 66 делится на 11 без остатка: $66 \div 11 = 6$.Следовательно, наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.НОД (11, 66) = 11.
Ответ: 11

668. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:

а) $24$ и $35$;

б) $56$ и $99$;

в) $63$ и $88$;

г) $12$ и $25$;

д) $32$ и $33$.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать это с помощью разложения на простые множители, необходимо показать, что у чисел нет общих простых множителей.

а) 24 и 35
Разложим оба числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$35 = 5 \cdot 7$
В разложениях чисел 24 и 35 нет одинаковых (общих) простых множителей. Следовательно, эти числа являются взаимно простыми.
Ответ: доказано, что числа 24 и 35 являются взаимно простыми.

б) 56 и 99
Разложим оба числа на простые множители:
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
$99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$
В разложениях чисел 56 и 99 нет общих простых множителей. Следовательно, эти числа являются взаимно простыми.
Ответ: доказано, что числа 56 и 99 являются взаимно простыми.

в) 63 и 88
Разложим оба числа на простые множители:
$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 11$
В разложениях чисел 63 и 88 нет общих простых множителей. Следовательно, эти числа являются взаимно простыми.
Ответ: доказано, что числа 63 и 88 являются взаимно простыми.

г) 12 и 25
Разложим оба числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
В разложениях чисел 12 и 25 нет общих простых множителей. Следовательно, эти числа являются взаимно простыми.
Ответ: доказано, что числа 12 и 25 являются взаимно простыми.

д) 32 и 33
Разложим оба числа на простые множители:
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
$33 = 3 \cdot 11$
В разложениях чисел 32 и 33 нет общих простых множителей. Следовательно, эти числа являются взаимно простыми.
Ответ: доказано, что числа 32 и 33 являются взаимно простыми.

669. Найдите:

а) $НОД (13, 5);$

б) $НОД (3, 11);$

в) $НОД (29, 19);$

г) $НОД (54, 55);$

д) $НОД (62, 63);$

е) $НОД (98, 99).$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 13 и 5, заметим, что оба числа являются простыми. Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя. Единственным общим делителем для двух различных простых чисел является 1. Следовательно, числа 13 и 5 являются взаимно простыми.
Ответ: 1

б) Числа 3 и 11 являются простыми числами. У них нет общих делителей, кроме 1. Таким образом, их наибольший общий делитель равен 1.
Ответ: 1

в) Числа 29 и 19, так же как и в предыдущих примерах, являются простыми. У двух различных простых чисел есть только один общий делитель — это число 1. Поэтому они взаимно простые.
Ответ: 1

г) Чтобы найти НОД чисел 54 и 55, можно заметить, что это два последовательных целых числа. Любые два последовательных целых числа являются взаимно простыми, так как их разница равна 1, и любой их общий делитель должен также делить их разницу. Единственный положительный делитель числа 1 — это 1.
Можно также разложить числа на простые множители:
$54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3$
$55 = 5 \cdot 11$
У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1.
Ответ: 1

д) Числа 62 и 63 являются последовательными целыми числами. Следовательно, они взаимно простые, и их наибольший общий делитель равен 1.
Проверим разложением на множители:
$62 = 2 \cdot 31$
$63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
Общих простых множителей нет, поэтому НОД(62, 63) = 1.
Ответ: 1

е) Числа 98 и 99 также являются последовательными целыми числами, поэтому их НОД равен 1.
Разложим на простые множители для проверки:
$98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$
$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$
Так как у чисел 98 и 99 нет общих простых множителей, их наибольший общий делитель равен 1.
Ответ: 1

670. Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми.

Для того чтобы доказать это утверждение, давайте сначала воспользуемся определениями простого числа и взаимно простых чисел.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1.

Пусть у нас есть два простых числа, обозначим их $p_1$ и $p_2$. Нам нужно доказать, что НОД($p_1$, $p_2$) = 1.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Простые числа различны, то есть $p_1 \neq p_2$.

По определению простого числа, у числа $p_1$ есть только два делителя: 1 и $p_1$.
Точно так же у простого числа $p_2$ есть только два делителя: 1 и $p_2$.

Найдём общие делители этих двух чисел. Для этого нам нужно найти пересечение множеств их делителей: $\{1, p_1\}$ и $\{1, p_2\}$.

Поскольку мы предположили, что $p_1$ и $p_2$ — это разные числа ($p_1 \neq p_2$), единственным числом, которое входит в оба множества делителей, является 1.

Таким образом, у чисел $p_1$ и $p_2$ есть только один общий делитель — это 1. Следовательно, их наибольший общий делитель (НОД) также равен 1.

НОД($p_1$, $p_2$) = 1.

По определению, числа, чей НОД равен 1, являются взаимно простыми. Это доказывает, что любые два различных простых числа взаимно просты.

2. Простые числа одинаковы, то есть $p_1 = p_2 = p$.

В этом случае мы ищем НОД($p$, $p$). Наибольший общий делитель любого числа с самим собой равен этому числу.

НОД($p$, $p$) = $p$.

Так как $p$ — простое число, оно больше 1 ($p>1$). В этом случае НОД не равен 1, и числа не являются взаимно простыми.

Обычно, когда в задаче говорится "два простых числа", подразумеваются два различных числа.

Ответ: Два простых числа являются взаимно простыми, только если они различны. Доказательство строится на определении простого числа. У любого простого числа $p$ есть только два делителя: 1 и само число $p$. Если мы возьмём два разных простых числа, $p_1$ и $p_2$, то их множества делителей будут $\{1, p_1\}$ и $\{1, p_2\}$. Поскольку $p_1 \neq p_2$, единственным общим делителем будет 1. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1, и, по определению, эти числа являются взаимно простыми.

671. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Возьмем два произвольных соседних натуральных числа: $n$ и $n+1$.

Предположим, что у них есть общий делитель $d$, где $d$ — натуральное число. Если $d$ является общим делителем, то и $n$, и $n+1$ должны делиться на $d$ без остатка.

Согласно свойству делимости, если два числа ($n+1$ и $n$) делятся на $d$, то и их разность также должна делиться на $d$. Вычислим эту разность:

$(n+1) - n = 1$

Таким образом, их общий делитель $d$ должен быть делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, $d = 1$.

Мы показали, что единственный общий натуральный делитель для любых двух соседних натуральных чисел — это 1. Значит, их наибольший общий делитель равен 1.

$НОД(n, n+1) = 1$

Это и означает, что два соседних натуральных числа всегда являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любой общий делитель двух соседних натуральных чисел $n$ и $n+1$ также является делителем их разности, равной $(n+1) - n = 1$. Так как единственным натуральным делителем числа 1 является 1, то наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Следовательно, они взаимно простые.

672. Придумайте пять пар таких чисел $a$ и $b$, чтобы $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Задача состоит в том, чтобы найти пять пар чисел $a$ и $b$, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Такие числа называются взаимно простыми. Это означает, что у них нет общих простых делителей.

Вот пять примеров таких пар с объяснениями.

Пара 1

Возьмем два последовательных числа, например, 8 и 9. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые. Проверим это, разложив их на простые множители:
$a = 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$b = 9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
У чисел 8 и 9 нет общих простых делителей, следовательно, $НОД(8, 9) = 1$.
Ответ: (8, 9).

Пара 2

Возьмем два различных простых числа, например, 7 и 13. Простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Поскольку 7 и 13 — разные простые числа, их единственный общий делитель — это 1.
$НОД(7, 13) = 1$.
Ответ: (7, 13).

Пара 3

Возьмем простое число и составное число, которое на него не делится. Например, 5 и 12.
Разложим число 12 на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Число 5 является простым.
Сравнивая множители чисел 5 и 12, мы видим, что у них нет общих делителей, кроме 1. Таким образом, $НОД(5, 12) = 1$.
Ответ: (5, 12).

Пара 4

Возьмем два составных числа, у которых нет общих простых делителей. Например, 15 и 28.
Разложим их на простые множители:
$a = 15 = 3 \cdot 5$
$b = 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
Общих простых множителей нет, поэтому $НОД(15, 28) = 1$.
Ответ: (15, 28).

Пара 5

Возьмем число 1 и любое другое натуральное число, например, 34. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Поэтому наибольший общий делитель единицы и любого другого натурального числа всегда равен 1.
$НОД(1, 34) = 1$.
Ответ: (1, 34).

673. Найдите:

а) $ \text{НОД} (320, 40) $;

б) $ \text{НОД} (233, 79) $;

в) $ \text{НОД} (278; 279) $;

г) $ \text{НОД} (484, 44) $;

д) $ \text{НОД} (84, 96) $;

е) $ \text{НОД} (100; 175) $.

а)

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 320 и 40, можно заметить, что 320 делится на 40 без остатка:

$320 \div 40 = 8$

Если одно натуральное число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел. Следовательно, НОД(320, 40) = 40.

Ответ: 40

б)

Для нахождения НОД(233, 79) воспользуемся алгоритмом Евклида. Этот метод заключается в последовательном делении большего числа на меньшее с остатком, пока остаток не станет равен нулю.

$233 = 2 \cdot 79 + 75$

$79 = 1 \cdot 75 + 4$

$75 = 18 \cdot 4 + 3$

$4 = 1 \cdot 3 + 1$

$3 = 3 \cdot 1 + 0$

Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем. В данном случае он равен 1. Это означает, что числа 233 и 79 взаимно простые.

Ответ: 1

в)

Числа 278 и 279 являются последовательными натуральными числами. Два любых последовательных натуральных числа всегда взаимно просты, так как их единственный общий положительный делитель — это 1.

Доказательство: пусть $d$ — общий делитель чисел $n$ и $n+1$. Тогда $d$ также делит и их разность: $(n+1) - n = 1$. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1, следовательно, $d=1$.

Таким образом, НОД(278, 279) = 1.

Ответ: 1

г)

Чтобы найти НОД(484, 44), проверим, делится ли большее число на меньшее:

$484 \div 44 = 11$

Так как 484 делится на 44 нацело, то 44 является их наибольшим общим делителем.

Ответ: 44

д)

Для нахождения НОД(84, 96) разложим оба числа на простые множители и найдем произведение их общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью.

Разложение числа 84: $84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 96: $96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 12 = 2^4 \cdot 6 = 2^5 \cdot 3$

Общими множителями являются $2$ и $3$. Наименьшая степень для 2 — это 2, для 3 — это 1.

НОД(84, 96) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

е)

Найдем НОД(100, 175), разложив оба числа на простые множители.

Разложение числа 100: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$

Разложение числа 175: $175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$

Общим простым множителем является 5. Наименьшая степень, в которой 5 входит в оба разложения, — это 2.

НОД(100, 175) = $5^2 = 25$.

Ответ: 25