Страница 149 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

674. Ученик нашёл $ \text{НОД}(33, 198) $ и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

Учитель определил, что была допущена ошибка, основываясь на определении и свойствах наибольшего общего делителя (НОД).

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба исходных числа делятся без остатка. Из этого определения следует, что НОД двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел.

В задаче нужно найти НОД чисел 33 и 198. Меньшее из этих чисел — 33. Следовательно, их НОД не может быть больше 33. Математически это можно записать так:

$НОД(33, 198) \le 33$

Ученик получил в ответе число 66. Учитель, не проверяя вычисления, сразу увидел, что ответ неверен, так как $66 > 33$. Число 66 не может быть делителем числа 33, а значит, оно не может быть и общим делителем чисел 33 и 198.

Ответ: Учитель заметил, что полученный ответ (66) больше одного из исходных чисел (33), а наибольший общий делитель не может быть больше ни одного из чисел, для которых он находится.

675. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:

а) не может быть больше одного из этих чисел;

б) делится на все общие делители этих чисел.

а) не может быть больше одного из этих чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, по определению, является их общим делителем. Это означает, что он должен делить каждое из этих чисел без остатка.

Рассмотрим два натуральных числа, $a$ и $b$, и их наибольший общий делитель $d = \text{НОД}(a, b)$.

По определению делителя, если число $d$ делит число $a$, то $d$ не может быть больше $a$ (для натуральных чисел). Математически это записывается как $d \le a$. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12, и ни один из них не больше 12.

Аналогично, так как $d$ также делит число $b$, то должно выполняться условие $d \le b$.

Таким образом, наибольший общий делитель $d$ должен быть меньше или равен каждому из чисел ($d \le a$ и $d \le b$). Следовательно, он не может быть больше ни одного из этих чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель является делителем каждого из двух чисел, а делитель натурального числа не может быть больше самого этого числа.

б) делится на все общие делители этих чисел

Это фундаментальное свойство наибольшего общего делителя. Объясним, почему это так.

Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(a, b)$.

Возьмем любой другой общий делитель этих чисел и назовем его $c$.

Раз $c$ является общим делителем, то и $a$, и $b$ делятся на $c$ без остатка. Это можно записать в виде формул:
$a = c \cdot k$
$b = c \cdot m$
где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Теперь подставим эти выражения в определение $d$:

$d = \text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(c \cdot k, c \cdot m)$

Используем свойство наибольшего общего делителя, которое позволяет выносить общий множитель за знак НОД: $\text{НОД}(cx, cy) = c \cdot \text{НОД}(x, y)$. Применив это свойство, получим:

$d = c \cdot \text{НОД}(k, m)$

Так как $\text{НОД}(k, m)$ является целым числом, из последнего равенства следует, что $d$ является произведением $c$ на целое число. А это, по определению, означает, что $d$ делится на $c$.

Поскольку мы выбрали $c$ как произвольный общий делитель, это утверждение верно для всех общих делителей чисел $a$ и $b$.

Ответ: Любой общий делитель $c$ чисел $a$ и $b$ можно представить как общий множитель этих чисел, который выносится за знак НОД. В результате НОД($a,b$) оказывается равным произведению $c$ на некоторое целое число, что и доказывает делимость.

676. Даны разложения чисел a и b на простые множители. Найдите $ \text{НОД} (a, b) $.

а) $ a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7^2 $;

$ b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 $;

б) $ a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^3 $;

$ b = 2 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 19^2 $.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, представленных в виде разложения на простые множители, необходимо взять произведение их общих простых множителей, причем каждый множитель берется с наименьшим из показателей степени, с которыми он входит в разложения данных чисел.
Даны разложения чисел:
$a = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7^2$
$b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7$
Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2, 3, 5 и 7.
Для каждого общего множителя выберем наименьший показатель степени:
- для множителя 2: наименьшая степень это 2 (в числе b множитель $2^2$).
- для множителя 3: наименьшая степень это 4 (в числе a множитель $3^4$).
- для множителя 5: наименьшая степень это 1 (в числе a множитель $5^1$).
- для множителя 7: наименьшая степень это 1 (в числе b множитель $7^1$).
Теперь найдем произведение этих множителей в полученных степенях:
НОД(a, b) = $2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 81 \cdot 5 \cdot 7 = 11340$.
Ответ: 11340.

б) Применим тот же алгоритм.
Даны разложения чисел:
$a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^3$
$b = 2 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 19^2$
Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 5. Множители 3, 11, 7 и 19 не являются общими, поэтому они не войдут в НОД.
Для каждого общего множителя выберем наименьший показатель степени:
- для множителя 2: наименьшая степень это 1 (в числе b множитель $2^1$).
- для множителя 5: наименьшая степень это 2 (в числе a множитель $5^2$).
Найдем произведение этих множителей:
НОД(a, b) = $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.
Ответ: 50.

677. Найдите:

а) $ \text{НОД}(1, 48); $

б) $ \text{НОД}(15, 55); $

в) $ \text{НОД}(182, 82); $

г) $ \text{НОД}(100, 25); $

д) $ \text{НОД}(1000, 125); $

е) $ \text{НОД}(121, 11). $

а) Наибольший общий делитель (НОД) любого натурального числа и единицы всегда равен единице. Это связано с тем, что у числа 1 есть только один натуральный делитель — само число 1. Так как 1 является делителем любого числа, то он и будет наибольшим общим делителем.
Ответ: 1

б) Для нахождения НОД(15, 55) разложим оба числа на простые множители.
$15 = 3 \cdot 5$
$55 = 5 \cdot 11$
Общим множителем в обоих разложениях является число 5. Следовательно, это и есть их наибольший общий делитель.
Ответ: 5

в) Для нахождения НОД(182, 82) можно использовать алгоритм Евклида, который заключается в последовательном делении с остатком.
1. Делим большее число на меньшее: $182 = 2 \cdot 82 + 18$
2. Теперь делим делитель (82) на полученный остаток (18): $82 = 4 \cdot 18 + 10$
3. Повторяем процедуру: $18 = 1 \cdot 10 + 8$
4. Продолжаем: $10 = 1 \cdot 8 + 2$
5. И снова: $8 = 4 \cdot 2 + 0$
Последний ненулевой остаток и является наибольшим общим делителем. В данном случае это 2.
Ответ: 2

г) Чтобы найти НОД(100, 25), необходимо заметить, что 100 делится на 25 без остатка: $100 = 4 \cdot 25$. Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
Ответ: 25

д) Чтобы найти НОД(1000, 125), так же, как и в предыдущем примере, заметим, что 1000 кратно 125: $1000 = 8 \cdot 125$. Следовательно, НОД этих чисел равен меньшему из них.
Ответ: 125

е) Чтобы найти НОД(121, 11), заметим, что 121 является квадратом числа 11, то есть делится на 11 без остатка: $121 = 11 \cdot 11$. Таким образом, их наибольший общий делитель равен 11.
Ответ: 11

678. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

По условию задачи, 36 девочек и 24 мальчика нужно разделить на команды с одинаковым числом участников. При этом команды должны состоять либо только из мальчиков, либо только из девочек. Это значит, что количество участников в каждой команде должно быть числом, на которое делятся без остатка и 36, и 24. Чтобы найти наибольшее возможное число участников, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 36 и 24.

Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде?

Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 36 и 24 разложим их на простые множители:

$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

Теперь выберем общие множители в наименьшей степени и перемножим их. Общие множители — это 2 и 3. Наименьшая степень для 2 — это $2^2$, для 3 — это $3^1$.

$НОД(36, 24) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, наибольшее число участников в каждой команде — 12 человек.

Ответ: 12 участников.

Сколько команд получится?

Чтобы найти общее количество команд, нужно посчитать, сколько команд девочек и сколько команд мальчиков получится, если в каждой будет по 12 человек, а затем сложить эти количества.

1. Количество команд девочек:

$36 \div 12 = 3$ (команды)

2. Количество команд мальчиков:

$24 \div 12 = 2$ (команды)

3. Общее количество команд:

$3 + 2 = 5$ (команд)

Ответ: 5 команд.

679. Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?

По условию задачи, все 184 мандарина и 138 яблок нужно разложить в подарки так, чтобы в каждом подарке было одинаковое (поровну) количество мандаринов и одинаковое количество яблок. Это означает, что число подарков должно быть общим делителем как для числа мандаринов, так и для числа яблок. Чтобы найти наибольшее возможное число подарков, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 184 и 138.

Для нахождения НОД разложим числа 184 и 138 на простые множители.

Разложение числа 184:
$184 = 2 \cdot 92 = 2 \cdot 2 \cdot 46 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 23 = 2^3 \cdot 23$

Разложение числа 138:
$138 = 2 \cdot 69 = 2 \cdot 3 \cdot 23$

Наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей, взятых в наименьшей степени, в которой они входят в разложения обоих чисел.
Общими множителями для чисел 184 и 138 являются 2 и 23.
Наименьшая степень, в которой множитель 2 входит в оба разложения, это первая ($2^1$).
Наименьшая степень, в которой множитель 23 входит в оба разложения, это первая ($23^1$).
Следовательно, НОД(184, 138) = $2^1 \cdot 23^1 = 46$.

Таким образом, наибольшее число подарков, которое можно сформировать, составляет 46. При этом в каждом подарке будет по $184 \div 46 = 4$ мандарина и по $138 \div 46 = 3$ яблока.

Ответ: 46