Страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

700. Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел. Петя их не видел, но утверждает, что по количеству записанных чи-сел легко определит, чётная или нечётная у них сумма. Прав ли Петя?

Да, Петя прав. Чётность суммы нечётных чисел зависит исключительно от их количества.

Рассуждение и примеры

Вспомним основные правила сложения чётных и нечётных чисел:

• нечётное + нечётное = чётное (например, $3+5=8$)
• чётное + нечётное = нечётное (например, $8+7=15$)

Проверим, как это работает для суммы нескольких нечётных чисел:

• Сумма двух нечётных чисел: нечётное + нечётное = чётное.
• Сумма трёх нечётных чисел: (нечётное + нечётное) + нечётное = чётное + нечётное = нечётное.
• Сумма четырёх нечётных чисел: (сумма трёх нечётных) + нечётное = нечётное + нечётное = чётное.

Как видно из примеров, чётность суммы зависит от чётности количества слагаемых.

Математическое доказательство

Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Пусть Вася записал $n$ нечётных чисел. Их сумму $S$ можно записать так:

$S = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) + \dots + (2k_n + 1)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (2k_1 + 2k_2 + \dots + 2k_n) + \underbrace{(1 + 1 + \dots + 1)}_{n \text{ раз}}$

$S = 2(k_1 + k_2 + \dots + k_n) + n$

В получившейся формуле первое слагаемое, $2(k_1 + k_2 + \dots + k_n)$, всегда является чётным, так как оно содержит множитель 2. Следовательно, чётность всей суммы $S$ полностью определяется чётностью второго слагаемого, то есть числа $n$ (количества записанных чисел).

• Если количество чисел $n$ чётное, то сумма $S = (\text{чётное}) + (\text{чётное})$ будет чётной.
• Если количество чисел $n$ нечётное, то сумма $S = (\text{чётное}) + (\text{нечётное})$ будет нечётной.

Таким образом, зная только количество записанных нечётных чисел, можно однозначно определить, будет их сумма чётной или нечётной. Петя абсолютно прав.

Ответ: Да, Петя прав.

701. Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых нечётные числа. Не ошибается ли он?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойствами чётности и нечётности натуральных чисел. Обозначим четыре натуральных числа как $a, b, c$ и $d$.

Согласно первому условию, произведение этих чисел является нечётным: $a \cdot b \cdot c \cdot d = \text{нечётное}$. Произведение нескольких натуральных чисел может быть нечётным только в том случае, если каждый из сомножителей является нечётным числом. Если бы хотя бы одно из чисел было чётным, то и всё произведение было бы чётным. Отсюда следует, что все четыре числа — $a, b, c$ и $d$ — нечётные.

Согласно второму условию, сумма этих же чисел также является нечётной: $a + b + c + d = \text{нечётное}$. Теперь проверим, может ли сумма четырёх нечётных чисел быть нечётной. Вспомним правила сложения:

• нечётное + нечётное = чётное
• нечётное + чётное = нечётное
• чётное + чётное = чётное

Рассмотрим сумму наших четырёх нечётных чисел, сгруппировав их попарно: $(a + b) + (c + d)$.

Сумма первых двух нечётных чисел $(a + b)$ является чётным числом. Аналогично, сумма двух других нечётных чисел $(c + d)$ также является чётным числом. В результате мы получаем сумму двух чётных чисел, которая всегда даёт чётное число.

Таким образом, мы приходим к противоречию. Исходя из того, что произведение нечётно, мы доказали, что сумма этих четырёх чисел должна быть чётной. Однако по условию задачи сумма должна быть нечётной. Одновременное выполнение этих условий невозможно.

Следовательно, не существует таких четырёх натуральных чисел, у которых и произведение, и сумма были бы нечётными.

Ответ: Да, этот человек ошибается.

702. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей?

Давайте проанализируем, как изменяется общее количество частей бумаги после каждой операции.

Изначально у нас есть 9 листов бумаги.

1. Когда мы берем один лист (или часть) и разрываем его на 7 частей, общее количество частей увеличивается. Мы убираем 1 часть и добавляем 7 новых. Изменение составляет $7 - 1 = 6$ частей.

2. Когда мы берем один лист (или часть) и разрываем его на 9 частей, общее количество частей также увеличивается. Мы убираем 1 часть и добавляем 9 новых. Изменение составляет $9 - 1 = 8$ частей.

Обратим внимание, что в обоих случаях общее количество частей увеличивается на четное число (6 или 8).

Пусть $x$ — это количество раз, когда листы рвали на 7 частей, а $y$ — количество раз, когда листы рвали на 9 частей. Тогда итоговое количество частей $N$ можно найти по формуле: $N = 9 + 6x + 8y$

Нам нужно выяснить, может ли $N$ быть равным 100. Подставим это значение в уравнение: $100 = 9 + 6x + 8y$

Вычтем 9 из обеих частей уравнения: $100 - 9 = 6x + 8y$ $91 = 6x + 8y$

Теперь проанализируем полученное уравнение. В правой части уравнения стоит выражение $6x + 8y$. Поскольку $6x$ — это всегда четное число (произведение четного числа на любое целое) и $8y$ — это тоже всегда четное число, их сумма $6x + 8y$ всегда будет четным числом.

В левой части уравнения стоит число 91, которое является нечетным.

Таким образом, мы приходим к противоречию: нечетное число (91) должно быть равно четному числу ($6x + 8y$), что невозможно для любых целых $x$ и $y$.

Следовательно, получить 100 частей бумаги невозможно.

Ответ: нет, нельзя.