Страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

721. Старший брат выписал из справочника число $15!$ (см. задачу 719); а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось:

$15! = 130\text{X}674368000.$

Рис. 148

Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15$.

Для решения этой задачи, не вычисляя значение $15!$ напрямую, можно воспользоваться признаками делимости чисел. Число $15!$ (15 факториал) по определению является произведением всех натуральных чисел от 1 до 15: $15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 14 \cdot 15$. Это означает, что $15!$ должно делиться на каждое из этих чисел, в том числе на 9 и 11.

Решение с использованием признака делимости на 9

Поскольку в произведении $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 15$ есть множитель 9 (а также 3, 6, 12, 15), число $15!$ должно делиться на 9 без остатка. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Запишем известное нам число, обозначив пропавшую цифру через $x$: $130x674368000$. Найдем сумму всех известных цифр этого числа: $1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38$. Полная сумма цифр числа равна $38 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $x$ – это одна цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Следовательно, сумма $38+x$ может находиться в диапазоне от $38+0=38$ до $38+9=47$. В этом диапазоне [38, 47] есть только одно число, которое делится на 9 – это 45. Значит, должно выполняться равенство: $38 + x = 45$ $x = 45 - 38$ $x = 7$ Таким образом, пропавшая цифра – это 7.

Ответ: 7

Проверка с использованием признака делимости на 11

В произведении $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 15$ есть множитель 11, поэтому число $15!$ должно делиться на 11. Согласно признаку делимости на 11, число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях (считая справа), и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, делится на 11. Рассмотрим число $1\ 3\ 0\ x\ 6\ 7\ 4\ 3\ 6\ 8\ 0\ 0\ 0$. Сумма цифр на нечётных позициях (1-й, 3-й, 5-й и т.д. справа): $S_{нечет} = 0 + 0 + 8 + 3 + 7 + x + 3 = 21 + x$. Сумма цифр на чётных позициях (2-й, 4-й, 6-й и т.д. справа): $S_{чет} = 0 + 6 + 4 + 6 + 0 + 1 = 17$. Найдем их разность: $S_{нечет} - S_{чет} = (21 + x) - 17 = 4 + x$. Эта разность должна делиться на 11. Учитывая, что $x$ – это цифра от 0 до 9, значение выражения $4+x$ может быть в диапазоне от 4 до 13. Единственное число в этом диапазоне, кратное 11, – это само число 11. Следовательно: $4 + x = 11$ $x = 11 - 4$ $x = 7$ Оба метода дают один и тот же результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 7

722. a) Имеются ли среди чисел $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, $6!$, $7!$, ... (см. задачу 719) взаимно простые числа?

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел $100!$ и $50!$?

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел $100!$ и $50!$?

Рис. 149

а) Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... взаимно простые числа?

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Рассмотрим два любых числа из этой последовательности, например, $m!$ и $n!$, где $m < n$ и $m \ge 2$.
По определению факториала:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot m \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n$
Мы видим, что $n!$ можно представить как произведение $m!$ и последующих чисел:
$n! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot m) \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n = m! \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n$
Это означает, что $m!$ является делителем $n!$.
Следовательно, наибольший общий делитель для $m!$ и $n!$ будет равен меньшему из чисел, то есть $m!$.
$НОД(m!, n!) = m!$
Поскольку в заданной последовательности наименьшее число — это $2! = 2$, то для любой пары чисел $m!$ и $n!$ (где $m < n$) их НОД будет равен $m!$, а $m! \ge 2$.
Так как НОД любой пары чисел из этой последовательности всегда больше 1, среди них нет взаимно простых чисел.
Ответ: Нет.

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!?

Воспользуемся рассуждениями из пункта а). У нас есть два числа: $50!$ и $100!$.
Поскольку $50 < 100$, то число $100!$ содержит в себе произведение всех чисел от 1 до 50, то есть $50!$.
$100! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 50 \cdot 51 \cdot \dots \cdot 100 = 50! \cdot (51 \cdot 52 \cdot \dots \cdot 100)$
Из этого следует, что $50!$ является делителем числа $100!$.
Когда одно число является делителем другого, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
$НОД(100!, 50!) = 50!$
Ответ: 50!

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.
Мы уже установили, что $100!$ делится на $50!$ (так как $100! = 50! \cdot 51 \cdot \dots \cdot 100$).
Также очевидно, что $100!$ делится само на себя.
Следовательно, $100!$ является общим кратным для чисел $100!$ и $50!$.
Поскольку любое другое общее кратное должно быть кратно $100!$, оно не может быть меньше, чем $100!$.
Таким образом, $100!$ является наименьшим общим кратным.
В общем случае, если число $a$ делится на число $b$, то $НОК(a, b) = a$.
$НОК(100!, 50!) = 100!$
Ответ: 100!

723. Задачи на рисование линии по указанным ранее правилам можно усложнить. Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом, чтобы линия не пересекала себя. Например, «конверт», изображённый на рисунке 148, можно нарисовать, как на рисунке 149.

Нарисуйте фигуру (рис. 150), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так, чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке.

Указание. Фигуру следует раскрасить «в шахматном порядке», отсоединить закрашенные области друг от друга так, чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой-либо другой закрашенной областью. Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру (рис. 151).

Рис. 150

Рис. 151

Для решения этой задачи необходимо нарисовать фигуру, показанную на рис. 150, одной непрерывной линией, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя ни одну линию дважды и не пересекая саму себя. Прямое обведение линий фигуры невозможно, так как это приведёт к самопересечению. Вместо этого следует использовать метод, подсказанный в указании: нужно нарисовать единый контур, который формирует все элементы фигуры.

Этот метод заключается в том, чтобы представить линии исходного рисунка как "стены" или "разделители" и найти путь, который проходит вдоль каждой "стены" с обеих сторон, не пересекая их. В результате получается одна замкнутая, непересекающаяся линия.

Ниже приведено пошаговое описание одного из возможных способов нарисовать такую линию. Для удобства обозначим точки на окружности: A - верхняя, B - правая, C - нижняя, D - левая, а центр окружности - O.

1. Начните движение от верхней точки A и проведите линию вдоль левой стороны треугольника (хорда AD) по направлению к центру O.
2. Не доходя до центра, плавно поверните налево и ведите линию вдоль радиуса OD к точке D на окружности.
3. Из точки D проведите линию по дуге окружности вниз через точку C до точки B.
4. От точки B проведите линию вдоль хорды BA по направлению к точке A.
5. Не доходя до точки A, плавно поверните и ведите линию вдоль радиуса AO к центру O.
6. От центра O проведите линию вдоль радиуса OC к точке C.
7. Из точки C проведите линию по дуге окружности влево до точки D.
8. От точки D проведите линию вдоль хорды DA по направлению к точке A.
9. Не доходя до точки A, плавно поверните и проведите линию по дуге окружности до точки B.
10. От точки B проведите линию вдоль радиуса BO к центру O.
11. От центра O проведите линию вдоль радиуса OA, чтобы соединиться с начальной точкой пути у вершины A, замыкая контур.

В результате этих действий будет нарисована одна сложная, но непрерывная и не самопересекающаяся линия, которая очерчивает все элементы исходной фигуры. Визуально этот процесс показан на рисунке 151 в условии задачи, где стрелками изображен итоговый путь.

Ответ: Фигуру можно нарисовать, следуя пошаговому описанию выше, которое представляет собой создание единого несамопересекающегося контура, очерчивающего все линии исходного рисунка.