Номер 721, страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

721. Старший брат выписал из справочника число $15!$ (см. задачу 719); а Вася случайно поставил в его тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось:

$15! = 130\text{X}674368000.$

Рис. 148

Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15$.

Для решения этой задачи, не вычисляя значение $15!$ напрямую, можно воспользоваться признаками делимости чисел. Число $15!$ (15 факториал) по определению является произведением всех натуральных чисел от 1 до 15: $15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 14 \cdot 15$. Это означает, что $15!$ должно делиться на каждое из этих чисел, в том числе на 9 и 11.

Решение с использованием признака делимости на 9

Поскольку в произведении $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 15$ есть множитель 9 (а также 3, 6, 12, 15), число $15!$ должно делиться на 9 без остатка. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Запишем известное нам число, обозначив пропавшую цифру через $x$: $130x674368000$. Найдем сумму всех известных цифр этого числа: $1 + 3 + 0 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 0 + 0 = 38$. Полная сумма цифр числа равна $38 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Поскольку $x$ – это одна цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Следовательно, сумма $38+x$ может находиться в диапазоне от $38+0=38$ до $38+9=47$. В этом диапазоне [38, 47] есть только одно число, которое делится на 9 – это 45. Значит, должно выполняться равенство: $38 + x = 45$ $x = 45 - 38$ $x = 7$ Таким образом, пропавшая цифра – это 7.

Ответ: 7

Проверка с использованием признака делимости на 11

В произведении $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 15$ есть множитель 11, поэтому число $15!$ должно делиться на 11. Согласно признаку делимости на 11, число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях (считая справа), и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, делится на 11. Рассмотрим число $1\ 3\ 0\ x\ 6\ 7\ 4\ 3\ 6\ 8\ 0\ 0\ 0$. Сумма цифр на нечётных позициях (1-й, 3-й, 5-й и т.д. справа): $S_{нечет} = 0 + 0 + 8 + 3 + 7 + x + 3 = 21 + x$. Сумма цифр на чётных позициях (2-й, 4-й, 6-й и т.д. справа): $S_{чет} = 0 + 6 + 4 + 6 + 0 + 1 = 17$. Найдем их разность: $S_{нечет} - S_{чет} = (21 + x) - 17 = 4 + x$. Эта разность должна делиться на 11. Учитывая, что $x$ – это цифра от 0 до 9, значение выражения $4+x$ может быть в диапазоне от 4 до 13. Единственное число в этом диапазоне, кратное 11, – это само число 11. Следовательно: $4 + x = 11$ $x = 11 - 4$ $x = 7$ Оба метода дают один и тот же результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 7