Номер 716, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

716. Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.

Отметим, что:

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Научитесь выполнять этот фокус.

Секрет фокуса основан на свойствах чётных и нечётных чисел (на их чётности). Давайте разберём его математически.

Пусть $R$ — номинал монеты в правой руке, а $L$ — номинал монеты в левой руке. Согласно условию, мы вычисляем сумму $S$ по формуле:

$S = R \times 2 + L \times 3$

Рассмотрим чётность каждого слагаемого в этой сумме.

1. Первое слагаемое — $R \times 2$. Любое целое число, умноженное на 2, становится чётным. Таким образом, $R \times 2$ — это всегда чётное число, независимо от того, какая монета находится в правой руке.

2. Второе слагаемое — $L \times 3$. Поскольку 3 — нечётное число, чётность этого произведения зависит только от чётности числа $L$:
• Если $L$ — чётное число (в нашем случае, 2 рубля), то и произведение $L \times 3$ будет чётным ($2 \times 3 = 6$).
• Если $L$ — нечётное число (в нашем случае, 5 рублей), то и произведение $L \times 3$ будет нечётным ($5 \times 3 = 15$).

Теперь рассмотрим чётность всей суммы $S$. Она равна сумме чётного числа ($R \times 2$) и числа $L \times 3$.

• Если к чётному числу прибавить чётное, результат будет чётным.
• Если к чётному числу прибавить нечётное, результат будет нечётным.

Следовательно, чётность итоговой суммы $S$ полностью совпадает с чётностью слагаемого $L \times 3$, а значит, и с чётностью номинала монеты в левой руке $L$.

Отсюда и разгадка:

• Если вам сообщают, что сумма чётная, это значит, что в левой руке находится монета с чётным номиналом, то есть двухрублёвая монета.
• Если вам сообщают, что сумма нечётная, это значит, что в левой руке находится монета с нечётным номиналом, то есть пятирублёвая монета. А раз пятирублёвая в левой, значит двухрублёвая — в правой.

Это полностью соответствует правилу, описанному в задаче.

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

Главное условие для монет, чтобы фокус сработал — их номиналы должны иметь разную чётность. То есть, одна монета должна быть чётной, а другая — нечётной. Это позволяет однозначно определить монету по чётности итоговой суммы.

• Пара 1 рубль (нечётное) и 2 рубля (чётное) подходит.
• Пара 5 рублей (нечётное) и 10 рублей (чётное) подходит.
• Пара 1 рубль (нечётное) и 5 рублей (нечётное) не подходит. Если обе монеты нечётные, то какая бы из них ни оказалась в левой руке, результат $L \times 3$ всегда будет нечётным, а итоговая сумма $S$ — тоже всегда нечётной. Вы не сможете различить, какая именно монета где.

Ответ: Фокус работает только тогда, когда номиналы монет имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Главное условие для множителей, чтобы фокус сработал — они должны иметь разную чётность. Один множитель должен быть чётным, а другой — нечётным.

Чётный множитель "скрывает" чётность монеты в одной руке (произведение всегда чётно), а нечётный множитель "показывает" чётность монеты в другой руке (чётность произведения совпадает с чётностью монеты). Таким образом, итоговая чётность суммы зависит только от монеты в той руке, которую мы умножаем на нечётное число.

• Пары множителей 2 (чётн.) и 5 (нечётн.), 4 (чётн.) и 5 (нечётн.), 6 (чётн.) и 9 (нечётн.) подходят, так как в каждой паре есть одно чётное и одно нечётное число.
• Пара 3 (нечётн.) и 5 (нечётн.) не подходит. Если оба множителя нечётные, то чётность суммы $S = R \times 3 + L \times 5$ будет зависеть от чётности обеих монет. Так как одна монета чётная, а другая нечётная, одно слагаемое всегда будет чётным, а другое — нечётным. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Вы получите нечётный результат независимо от того, в какой руке какая монета, и не сможете их различить.

Ответ: Фокус работает только тогда, когда множители имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

Научитесь выполнять этот фокус

Чтобы выполнить фокус, следуйте этим шагам:

1. Подготовка. Возьмите две монеты с разной чётностью номинала (например, 2 рубля и 5 рублей). Придумайте два множителя, также с разной чётностью (например, 4 и 7).

2. Инструкция. Попросите зрителя спрятать по одной монете в каждую руку. Затем дайте ему чёткую инструкцию, какой множитель для какой руки использовать. Например: «Умножь число рублей в правой руке на 4, а в левой — на 7. Сложи результаты и скажи мне только, чётная или нечётная получилась у тебя сумма».

3. Разгадка. Вы должны запомнить, для какой руки вы назвали нечётный множитель (в нашем примере это 7 для левой руки). Чётность итоговой суммы, которую вам назовёт зритель, будет совпадать с чётностью номинала монеты именно в этой руке.
• Если зритель говорит «чётная», значит, в руке с нечётным множителем (в левой) лежит монета с чётным номиналом (2 рубля).
• Если зритель говорит «нечётная», значит, в руке с нечётным множителем (в левой) лежит монета с нечётным номиналом (5 рублей).

Зная, какая монета в одной руке, вы легко можете объявить, где какая из них находится.