Номер 715, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

715. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: $P = n^2 + n + 41$. Для любых ли натуральных $n$ число $P$ простое?

б) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле $P = n^2 + n + 41$, если брать последовательные натуральные числа, начиная с $n = 1$?

а) Утверждение, что формула $P = n^2 + n + 41$ дает простое число для любого натурального $n$, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором $P$ будет составным числом.

Рассмотрим выражение $P = n^2 + n + 41$. Его можно переписать в виде $P = n(n+1) + 41$.

Проверим значение $n=40$:
Подставим $n=40$ в формулу:
$P = 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681$.
Число 1681 является составным, так как $1681 = 41^2 = 41 \times 41$.

Также можно проверить значение $n=41$:
$P = 41^2 + 41 + 41 = 41 \times (41 + 1 + 1) = 41 \times 43$.
Это число также является составным, так как оно делится на 41 и 43.

Поскольку мы нашли значение $n$, при котором число $P$ не является простым, утверждение неверно.
Ответ: нет, не для любых.

б) Нам нужно найти, сколько различных простых чисел можно получить, подставляя в формулу $P = n^2 + n + 41$ последовательные натуральные числа, начиная с $n=1$, до тех пор, пока результат не перестанет быть простым числом.

Будем вычислять значения $P$ для $n = 1, 2, 3, \ldots$ и проверять их на простоту:

• При $n=1$: $P = 1^2 + 1 + 41 = 43$ (простое)
• При $n=2$: $P = 2^2 + 2 + 41 = 47$ (простое)
• При $n=3$: $P = 3^2 + 3 + 41 = 53$ (простое)

...и так далее.

Известно, что данная формула (многочлен Эйлера) дает простые числа для всех целых $n$ от 0 до 39. Поскольку в задаче рассматриваются натуральные числа, начиная с $n=1$, формула будет давать простые числа для $n = 1, 2, \ldots, 39$. Всего получается 39 значений $n$.

Как мы выяснили в пункте а), при $n=40$ мы получаем составное число:
$P = 40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$.

Таким образом, последовательность простых чисел, генерируемых формулой, прерывается при $n=40$. Следовательно, мы получаем простые числа для 39 последовательных значений $n$: от 1 до 39.

Осталось убедиться, что все эти 39 простых чисел различны. Функция $P(n) = n^2+n+41$ является возрастающей для всех натуральных $n$. Это означает, что для разных значений $n$ мы будем получать разные значения $P$. Следовательно, все 39 полученных простых чисел будут различными.

Итак, по формуле можно получить 39 различных простых чисел, беря последовательные натуральные числа, начиная с $n=1$.
Ответ: 39.