Номер 709, страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

709. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Задача о рисовании фигур, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, решается с помощью простого правила из раздела математики, который называется теория графов. Любую такую фигуру можно представить как набор точек (вершин) и соединяющих их линий (ребер).

Ключевым понятием здесь является «степень» вершины — это количество линий, которые в ней сходятся. Вершина называется нечетной, если ее степень нечетна (1, 3, 5, ...), и четной, если ее степень четна (2, 4, 6, ...). Степень вершины $v$ можно обозначить как $deg(v)$.

Правило, которое определяет, можно ли нарисовать фигуру одним росчерком, гласит:
1. Если у фигуры нет нечетных вершин (т.е. все вершины четные), ее можно нарисовать одним росчерком. Начать движение можно из любой точки, и оно закончится в той же самой точке.
2. Если у фигуры ровно две нечетные вершины, ее также можно нарисовать одним росчерком. Но начинать нужно в одной из нечетных вершин, а заканчивать — в другой.
3. Если у фигуры больше двух нечетных вершин (например, четыре), то нарисовать ее по заданным правилам невозможно.

Основываясь на этом, придумаем несколько фигур.

Домик
Простая фигура, состоящая из квадрата («стены») и треугольника наверху («крыша»), у которых одна сторона общая.
У этой фигуры 5 вершин:
- Две нижние вершины квадрата: в каждой сходится по 2 линии, $deg(v) = 2$. Это четные вершины.
- Верхняя вершина крыши: в ней тоже сходятся 2 линии, $deg(v) = 2$. Это четная вершина.
- Две верхние вершины квадрата, которые также являются основанием крыши: в каждой из них сходится по 3 линии (сторона квадрата, общая сторона с крышей, сторона крыши). $deg(v) = 3$. Это нечетные вершины.
Фигура имеет ровно две нечетные вершины.
Ответ: Фигуру «Домик» можно нарисовать, так как у нее две нечетные вершины.

Пятиконечная звезда
Классическая пятиконечная звезда (пентаграмма), нарисованная пятью отрезками.
У этой фигуры 10 вершин:
- 5 внешних вершин («лучи» звезды): в каждой из них сходятся по 2 линии. Все они четные, $deg(v) = 2$.
- 5 внутренних вершин (точки пересечения линий): в каждой из них сходится по 4 линии. Все они тоже четные, $deg(v) = 4$.
В этой фигуре все вершины четные.
Ответ: Фигуру «Пятиконечная звезда» можно нарисовать, так как у нее нет нечетных вершин.

Конверт
Фигура, похожая на почтовый конверт. Состоит из квадрата и «крышки» в виде треугольника, построенного на верхней стороне квадрата. Важно: диагонали внутри квадрата не проводим.
Это та же самая фигура, что и «Домик», только повернутая. У нее также 5 вершин.
- Две вершины на основании квадрата: $deg(v) = 2$ (четные).
- «Носик» конверта (вершина треугольника): $deg(v) = 2$ (четная).
- Две вершины, где «крышка» соединяется с квадратом: $deg(v) = 3$ (нечетные).
Фигура имеет ровно две нечетные вершины. (Примечание: если бы в этом конверте были проведены диагонали, то все 4 угла квадрата стали бы нечетными, и его нельзя было бы нарисовать).
Ответ: Фигуру «Конверт» (без диагоналей) можно нарисовать, так как у нее две нечетные вершины.

Снежинка
Более сложная фигура: правильный шестиугольник, на каждой стороне которого снаружи достроен треугольник.
У этой фигуры 12 вершин:
- 6 вершин исходного шестиугольника: в каждой из них сходятся 4 линии (две стороны шестиугольника и две стороны пристроенных треугольников). Все они четные, $deg(v) = 4$.
- 6 внешних вершин (вершины треугольников): в каждой из них сходятся 2 линии. Все они тоже четные, $deg(v) = 2$.
В этой фигуре все вершины четные.
Ответ: Фигуру «Снежинка» можно нарисовать, так как у нее нет нечетных вершин.