Номер 707, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

707. В задании 706 вам не удалось нарисовать Рис. 142 две последние фигуры. Оказывается, этот результат зависит от числа «нечётных» узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько «нечётных» узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать?

Эта задача относится к разделу математики под названием теория графов. В ней фигура рассматривается как граф, «узлы» — как его вершины, а «линии» — как рёбра. Возможность нарисовать фигуру одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды, зависит от чётности или нечётности количества линий, сходящихся в каждом узле.

Узел, в котором сходится нечётное число линий (например, 1, 3, 5), называется «нечётным». Узел, в котором сходится чётное число линий (2, 4, 6 и т.д.), называется «чётным».

Проанализируем процесс рисования. Каждый раз, когда мы проходим через узел, не начиная и не заканчивая в нём путь, мы используем одну линию для «входа» и одну для «выхода». Таким образом, на каждый такой проход через узел расходуется пара линий. Это означает, что все узлы, которые не являются ни начальной, ни конечной точкой, должны быть чётными.

Существует два случая, когда фигуру можно нарисовать:

1. Путь начинается и заканчивается в одном и том же узле. В этом случае из начальной точки мы сначала выходим (одна линия), а в конце в неё же возвращаемся (ещё одна линия). Эта пара линий, как и все остальные проходы через этот узел, требует, чтобы он был чётным. Так как все промежуточные узлы тоже должны быть чётными, то в такой фигуре все узлы без исключения — чётные. Следовательно, количество «нечётных» узлов равно нулю.

2. Путь начинается в одном узле, а заканчивается в другом. В этом случае узел, с которого мы начинаем, имеет одну «лишнюю» исходящую линию, а узел, где мы заканчиваем, — одну «лишнюю» входящую. Это значит, что именно эти два узла (начальный и конечный) должны быть нечётными, а все остальные, промежуточные узлы — чётными. В такой фигуре должно быть ровно два «нечётных» узла.

Если в фигуре больше двух нечётных узлов (например, четыре), то нарисовать её одним росчерком невозможно, потому что для каждого нечётного узла, кроме возможного начального и конечного, у нас не будет парной линии для «входа-выхода». Таким образом, фигуру можно нарисовать только тогда, когда число нечётных узлов в ней равно нулю или двум.

Ответ: Чтобы фигуру можно было нарисовать, в ней должно быть 0 или 2 «нечётных» узла.