Номер 706, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

706. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 142.

а) б) в) Рис. 142

Для решения этой задачи воспользуемся правилом из теории графов, которое относится к эйлеровым путям. Фигуру можно нарисовать одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды) тогда и только тогда, когда она является связной и количество вершин с нечётным числом отходящих от них линий (рёбер) равно 0 или 2. Такие вершины называют нечётными.

— Если в графе нет нечётных вершин, то его можно нарисовать одним росчерком, причём начать можно в любой вершине и закончить в той же самой (эйлеров цикл).

— Если в графе ровно две нечётные вершины, то его можно нарисовать одним росчерком, но начать нужно в одной из нечётных вершин, а закончить в другой (эйлеров путь).

— Если в графе больше двух нечётных вершин, то нарисовать его одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую фигуру с этой точки зрения.

а)

Эта фигура представляет собой граф, вершинами которого являются три точки пересечения треугольника с окружностью. Посчитаем степень каждой вершины, то есть количество линий, сходящихся в ней.

В каждой из трёх вершин сходятся 4 линии: две стороны треугольника и две дуги окружности. Таким образом, степень каждой вершины равна $4$.

Поскольку все вершины имеют чётную степень, количество нечётных вершин равно 0. Следовательно, эту фигуру можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Да, эту фигуру можно нарисовать.

б)

В этой фигуре 5 вершин: 4 вершины квадрата, лежащие на окружности, и 1 вершина в центре, где пересекаются диагонали.

Посчитаем степени этих вершин:

— Каждая из 4 вершин на окружности: в ней сходится 5 линий (две стороны квадрата, две дуги окружности и один отрезок диагонали, идущий к центру). Степень этих вершин равна $5$ (нечётная).

— Вершина в центре: в ней сходятся 4 отрезка диагоналей. Степень этой вершины равна $4$ (чётная).

В итоге у нас 4 нечётные вершины. Так как их количество больше двух, нарисовать фигуру одним росчерком невозможно.

Ответ: Нет, эту фигуру нельзя нарисовать.

в)

Изображение куба представляет собой граф с 8 вершинами (углами куба).

В каждом из 8 углов куба сходятся 3 ребра. Следовательно, степень каждой из 8 вершин равна $3$.

Все 8 вершин этого графа являются нечётными. Поскольку количество нечётных вершин (восемь) больше двух, эту фигуру невозможно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Нет, эту фигуру нельзя нарисовать.