Номер 710, страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

710. Почтальон разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл с посылкой к Феде. На рисунке 144 показаны все тропинки, по которым проходил почтальон, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды.

В каком доме живёт Федя?

Каков мог быть маршрут почтальона?

Рис. 144

Для решения этой задачи представим схему деревни как математический объект — граф. Дома и почта — это вершины графа, а тропинки между ними — рёбра. Условие задачи означает, что почтальон должен пройти по каждому ребру графа ровно один раз. Такой путь называется эйлеровым путем.

В теории графов существует правило, связанное с возможностью начертить граф одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги (что эквивалентно прохождению эйлерова пути):

• Все точки (вершины), которые не являются началом или концом пути, должны иметь чётное количество выходящих из них линий (рёбер). Такие вершины называют чётными.
• Точки, которые являются началом или концом пути, могут иметь нечётное количество выходящих из них линий. Такие вершины называют нечётными.
• Путь, который проходит по всем рёбрам, возможен только в двух случаях:
  1. В графе нет нечётных вершин. Тогда путь можно начать в любой вершине и закончить в той же самой (эйлеров цикл).
  2. В графе ровно две нечётные вершины. Тогда путь должен начаться в одной из них и закончиться в другой.

Проанализируем нашу схему. Подсчитаем количество тропинок (степень вершины) для каждого объекта:

• Почта: 4 тропинки (к домам 1, 3, 4, 6) — чётная вершина.
• Дом 1: 3 тропинки (к Почте, 2, 7) — нечётная вершина.
• Дом 2: 2 тропинки (к домам 1, 3) — чётная вершина.
• Дом 3: 3 тропинки (к Почте, 2, 4) — нечётная вершина.
• Дом 4: 3 тропинки (к Почте, 3, 5) — нечётная вершина.
• Дом 5: 3 тропинки (к домам 4, 6, 7) — нечётная вершина.
• Дом 6: 3 тропинки (к Почте, 5, 7) — нечётная вершина.
• Дом 7: 3 тропинки (к домам 1, 5, 6) — нечётная вершина.

В нашей схеме 6 нечётных вершин (дома 1, 3, 4, 5, 6, 7) и 2 чётные (Почта, дом 2). Поскольку в графе больше двух нечётных вершин, пройти по всем тропинкам ровно один раз в рамках одного непрерывного маршрута невозможно. Это означает, что в условии задачи содержится противоречие.

Тем не менее, такие задачи часто встречаются в учебниках и предполагают логическое рассуждение на основе имеющихся правил, даже если они приводят к парадоксу.

В каком доме живёт Федя?

Если бы такой маршрут был возможен, то дом Феди, как конечная точка пути, должен был бы быть нечётной вершиной. Нечётными вершинами являются дома 1, 3, 4, 5, 6, 7. Таким образом, Федя должен жить в одном из этих домов. Однако логичной начальной точкой для почтальона является Почта, которая является чётной вершиной. Это нарушает правило, согласно которому начало и конец пути должны быть нечётными вершинами (если они не совпадают).

Учитывая, что задача дана в учебнике, возможно, она содержит ошибку или является задачей-шуткой, чтобы продемонстрировать невозможность такой ситуации. Если всё же необходимо дать ответ, то он будет основан на единственном твёрдом правиле: конечная точка пути должна быть нечётной вершиной.

Ответ: Федя должен жить в доме с нечётным числом тропинок. Таких домов шесть: 1, 3, 4, 5, 6, 7. Поскольку условие задачи не позволяет однозначно выбрать один из них и в целом является математически противоречивым, указать один конкретный дом невозможно.

Каков мог быть маршрут почтальона?

Так как непрерывный маршрут, удовлетворяющий условиям, невозможен, составить его нельзя. Математически доказано, что для обхода всех рёбер этого графа потребуется как минимум $6 / 2 = 3$ отдельных непрерывных маршрута. Например, один маршрут мог бы соединять дома 1 и 3, второй — 4 и 5, а третий — 6 и 7. Но для перемещения между этими маршрутами почтальону пришлось бы либо летать, либо проходить по некоторым тропинкам дважды, что противоречит условию.

Ответ: Составить маршрут, который бы удовлетворял всем условиям задачи, невозможно из-за свойств представленной схемы тропинок.