Номер 708, страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

708. Какую из фигур, изображённых на рисунке 143, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды?

а) б) в) Рис. 143

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать правило из теории графов, которое определяет, можно ли нарисовать фигуру одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды. Для этого нужно рассмотреть фигуру как граф, где точки пересечения и концы линий являются вершинами, а сами линии — ребрами. Степень вершины — это количество ребер (линий), сходящихся в ней.

Правило гласит: фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она связна (все ее части соединены) и количество вершин с нечетной степенью равно 0 или 2. Если таких вершин больше двух, то нарисовать фигуру одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую фигуру:

В этой фигуре 6 вершин. Подсчитаем степень каждой из них:

• Самая левая и самая правая вершины имеют степень 2 (четная).
• Верхняя, нижняя и две центральные вершины имеют степень 4 (четная).

Все вершины имеют четную степень, то есть количество вершин с нечетной степенью равно 0. Следовательно, эту фигуру можно нарисовать одним росчерком.

Эта фигура состоит из пяти пересекающихся колец. Вершинами здесь являются точки их пересечения. Всего таких точек 8. В каждой точке пересекаются две линии (дуги от двух разных колец), поэтому из каждой вершины выходят 4 линии. Таким образом, степень каждой из 8 вершин равна 4 (четная).

Все вершины имеют четную степень, количество вершин с нечетной степенью равно 0. Следовательно, эту фигуру также можно нарисовать одним росчерком.

Рассмотрим вершины этой фигуры. Всего их 8:

• 5 вершин на окружности, где к ней подходят внутренние отрезки. Степень каждой из них равна 3 (две дуги окружности и один отрезок).
• 3 вершины внутри окружности, где пересекаются отрезки (T-образные пересечения). Степень каждой из них также равна 3.

Все 8 вершин этой фигуры имеют нечетную степень. Поскольку количество вершин с нечетной степенью (8) больше двух, эту фигуру невозможно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Таким образом, единственная фигура из предложенных, которую нельзя нарисовать заданным способом, — это фигура под буквой в).

Ответ: в)