Страница 155 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

703. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа?

Для решения этой задачи рассмотрим сумму данных четырех чисел. Изначально у нас есть числа 0, 0, 0, 1. Найдем их сумму:
$S_0 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.
Начальная сумма — нечетное число.

По условию, за один ход разрешается прибавить 1 к любым двум числам. Это означает, что на каждом шаге общая сумма всех четырех чисел увеличивается на $1 + 1 = 2$.
Поскольку мы начинаем с нечетной суммы (1) и на каждом шаге прибавляем четное число (2), то сумма четырех чисел после любого количества ходов всегда будет оставаться нечетной. Это свойство (четность суммы) является инвариантом.

Теперь предположим, что нам удалось за некоторое количество ходов получить 4 равных числа. Пусть каждое из этих чисел равно $k$. В этом случае набор чисел будет $k, k, k, k$.
Найдем сумму этих чисел:
$S_{конечная} = k + k + k + k = 4k$.
Для любого целого числа $k$, произведение $4k$ всегда является четным числом.

Таким образом, мы приходим к противоречию. С одной стороны, сумма чисел на любом шаге должна быть нечетной. С другой стороны, сумма четырех равных чисел, которую мы хотим получить, всегда является четной. Поскольку нечетное число никогда не может быть равно четному, достичь требуемого результата невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

704. В шести коробочках лежат деньги. В первой 1 р., во второй 2 р., в третьей 3 р. и т. д., в шестой 6 р. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по 1 р. Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием четности и найдем инвариант — свойство, которое не меняется при выполнении разрешенной операции.

1. Начальное состояние.
Сначала найдем общую сумму денег во всех шести коробочках. В них лежат 1, 2, 3, 4, 5 и 6 рублей.
Сумма S: $S_{начальная} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ рубль.
Начальная сумма денег (21) является нечетным числом.

2. Операция (ход).
За один ход разрешается добавить по 1 рублю в любые две коробочки. Это означает, что за каждый ход общая сумма денег во всех коробочках увеличивается на $1 + 1 = 2$ рубля.
Число 2 является четным.

3. Изменение общей суммы.
Когда мы к нечетному числу (наша начальная сумма 21) прибавляем четное число (2), результат всегда будет нечетным. Например, $21 + 2 = 23$, $23 + 2 = 25$ и так далее.
Следовательно, после любого количества ходов общая сумма денег во всех коробочках всегда будет нечетным числом.

4. Конечное (целевое) состояние.
Мы хотим, чтобы суммы в коробочках уравнялись. Пусть в каждой из шести коробочек после нескольких ходов окажется одинаковая сумма, равная $x$ рублей.
Тогда общая сумма денег будет равна $S_{конечная} = x + x + x + x + x + x = 6 \cdot x$ рублей.
Поскольку один из множителей (6) является четным числом, то произведение $6 \cdot x$ всегда будет четным числом при любом целом $x$.

5. Вывод.
Мы пришли к противоречию. С одной стороны, общая сумма денег после любого числа ходов должна быть нечетной. С другой стороны, если бы нам удалось уравнять суммы, то общая сумма денег стала бы четной.
Поскольку нечетное число никогда не может быть равно четному, достичь цели невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

705. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 141.

а) б) Рис. 141

Задачи такого типа решаются с помощью простого правила из теории графов. Фигуру можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одной и той же линии, если у нее имеется не более двух «нечетных» узлов (вершин). Узел считается нечетным, если в нем сходится нечетное число линий (1, 3, 5 и т.д.), и четным, если в нем сходится четное число линий (2, 4, 6 и т.д.).

• Если в фигуре нет нечетных узлов, ее можно нарисовать одним росчерком, начав в любой точке и закончив в ней же.
• Если в фигуре ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать одним росчерком, но начинать нужно в одном нечетном узле, а заканчивать — в другом.
• Если в фигуре более двух нечетных узлов, нарисовать ее одним росчерком невозможно.

Применим это правило к данным фигурам.

Рассмотрим фигуру а). Она состоит из двух соединенных квадратов. Посчитаем количество линий, сходящихся в каждом узле:

• В четырех угловых узлах (верхний левый, нижний левый, верхний правый, нижний правый) сходится по 2 линии. Это 4 четных узла.
• В двух центральных узлах (на общей стороне квадратов) сходится по 3 линии. Это 2 нечетных узла.

Так как в фигуре ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать заданным способом. Начинать нужно в одном из центральных узлов, а заканчивать — в другом. Вот один из возможных путей:

1. Начать с верхнего центрального узла и провести линию влево.
2. Из верхнего левого угла провести линию вниз.
3. Из нижнего левого угла провести линию вправо к нижнему центральному узлу.
4. От нижнего центрального узла провести линию вверх к верхнему центральному узлу.
5. От верхнего центрального узла провести линию вправо.
6. Из верхнего правого угла провести линию вниз.
7. Из нижнего правого угла провести линию влево, закончив в нижнем центральном узле.

Анимация одного из возможных способов:

Ответ: Фигуру можно нарисовать.

Рассмотрим фигуру б), которая похожа на домик. Посчитаем количество линий в ее узлах:

• В двух нижних углах и в вершине крыши сходится по 2 линии. Это 3 четных узла.
• В двух узлах, где крыша соединяется с основной частью дома, сходится по 3 линии. Это 2 нечетных узла.

Поскольку в этой фигуре также ровно два нечетных узла, ее можно нарисовать, не отрывая карандаша. Начинать нужно в одном из узлов, где крыша примыкает к "стенам", а заканчивать — в другом. Пример последовательности:

1. Начать с левого верхнего узла "квадрата" и провести линию вниз.
2. Из левого нижнего угла провести линию вправо.
3. Из правого нижнего угла провести линию вверх до правого верхнего узла "квадрата".
4. Из этой точки провести линию к вершине крыши.
5. От вершины крыши провести линию к левому верхнему узлу "квадрата".
6. Из левого верхнего узла провести линию вправо, завершив рисунок в правом верхнем узле "квадрата".

Анимация одного из возможных способов:

Ответ: Фигуру можно нарисовать.

706. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 142.

а) б) в) Рис. 142

Для решения этой задачи воспользуемся правилом из теории графов, которое относится к эйлеровым путям. Фигуру можно нарисовать одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды) тогда и только тогда, когда она является связной и количество вершин с нечётным числом отходящих от них линий (рёбер) равно 0 или 2. Такие вершины называют нечётными.

— Если в графе нет нечётных вершин, то его можно нарисовать одним росчерком, причём начать можно в любой вершине и закончить в той же самой (эйлеров цикл).

— Если в графе ровно две нечётные вершины, то его можно нарисовать одним росчерком, но начать нужно в одной из нечётных вершин, а закончить в другой (эйлеров путь).

— Если в графе больше двух нечётных вершин, то нарисовать его одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую фигуру с этой точки зрения.

а)

Эта фигура представляет собой граф, вершинами которого являются три точки пересечения треугольника с окружностью. Посчитаем степень каждой вершины, то есть количество линий, сходящихся в ней.

В каждой из трёх вершин сходятся 4 линии: две стороны треугольника и две дуги окружности. Таким образом, степень каждой вершины равна $4$.

Поскольку все вершины имеют чётную степень, количество нечётных вершин равно 0. Следовательно, эту фигуру можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Да, эту фигуру можно нарисовать.

б)

В этой фигуре 5 вершин: 4 вершины квадрата, лежащие на окружности, и 1 вершина в центре, где пересекаются диагонали.

Посчитаем степени этих вершин:

— Каждая из 4 вершин на окружности: в ней сходится 5 линий (две стороны квадрата, две дуги окружности и один отрезок диагонали, идущий к центру). Степень этих вершин равна $5$ (нечётная).

— Вершина в центре: в ней сходятся 4 отрезка диагоналей. Степень этой вершины равна $4$ (чётная).

В итоге у нас 4 нечётные вершины. Так как их количество больше двух, нарисовать фигуру одним росчерком невозможно.

Ответ: Нет, эту фигуру нельзя нарисовать.

в)

Изображение куба представляет собой граф с 8 вершинами (углами куба).

В каждом из 8 углов куба сходятся 3 ребра. Следовательно, степень каждой из 8 вершин равна $3$.

Все 8 вершин этого графа являются нечётными. Поскольку количество нечётных вершин (восемь) больше двух, эту фигуру невозможно нарисовать одним росчерком.

Ответ: Нет, эту фигуру нельзя нарисовать.

707. В задании 706 вам не удалось нарисовать Рис. 142 две последние фигуры. Оказывается, этот результат зависит от числа «нечётных» узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько «нечётных» узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать?

Эта задача относится к разделу математики под названием теория графов. В ней фигура рассматривается как граф, «узлы» — как его вершины, а «линии» — как рёбра. Возможность нарисовать фигуру одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды, зависит от чётности или нечётности количества линий, сходящихся в каждом узле.

Узел, в котором сходится нечётное число линий (например, 1, 3, 5), называется «нечётным». Узел, в котором сходится чётное число линий (2, 4, 6 и т.д.), называется «чётным».

Проанализируем процесс рисования. Каждый раз, когда мы проходим через узел, не начиная и не заканчивая в нём путь, мы используем одну линию для «входа» и одну для «выхода». Таким образом, на каждый такой проход через узел расходуется пара линий. Это означает, что все узлы, которые не являются ни начальной, ни конечной точкой, должны быть чётными.

Существует два случая, когда фигуру можно нарисовать:

1. Путь начинается и заканчивается в одном и том же узле. В этом случае из начальной точки мы сначала выходим (одна линия), а в конце в неё же возвращаемся (ещё одна линия). Эта пара линий, как и все остальные проходы через этот узел, требует, чтобы он был чётным. Так как все промежуточные узлы тоже должны быть чётными, то в такой фигуре все узлы без исключения — чётные. Следовательно, количество «нечётных» узлов равно нулю.

2. Путь начинается в одном узле, а заканчивается в другом. В этом случае узел, с которого мы начинаем, имеет одну «лишнюю» исходящую линию, а узел, где мы заканчиваем, — одну «лишнюю» входящую. Это значит, что именно эти два узла (начальный и конечный) должны быть нечётными, а все остальные, промежуточные узлы — чётными. В такой фигуре должно быть ровно два «нечётных» узла.

Если в фигуре больше двух нечётных узлов (например, четыре), то нарисовать её одним росчерком невозможно, потому что для каждого нечётного узла, кроме возможного начального и конечного, у нас не будет парной линии для «входа-выхода». Таким образом, фигуру можно нарисовать только тогда, когда число нечётных узлов в ней равно нулю или двум.

Ответ: Чтобы фигуру можно было нарисовать, в ней должно быть 0 или 2 «нечётных» узла.

708. Какую из фигур, изображённых на рисунке 143, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды?

а) б) в) Рис. 143

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать правило из теории графов, которое определяет, можно ли нарисовать фигуру одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды. Для этого нужно рассмотреть фигуру как граф, где точки пересечения и концы линий являются вершинами, а сами линии — ребрами. Степень вершины — это количество ребер (линий), сходящихся в ней.

Правило гласит: фигуру можно нарисовать одним росчерком тогда и только тогда, когда она связна (все ее части соединены) и количество вершин с нечетной степенью равно 0 или 2. Если таких вершин больше двух, то нарисовать фигуру одним росчерком невозможно.

Проанализируем каждую фигуру:

В этой фигуре 6 вершин. Подсчитаем степень каждой из них:

• Самая левая и самая правая вершины имеют степень 2 (четная).
• Верхняя, нижняя и две центральные вершины имеют степень 4 (четная).

Все вершины имеют четную степень, то есть количество вершин с нечетной степенью равно 0. Следовательно, эту фигуру можно нарисовать одним росчерком.

Эта фигура состоит из пяти пересекающихся колец. Вершинами здесь являются точки их пересечения. Всего таких точек 8. В каждой точке пересекаются две линии (дуги от двух разных колец), поэтому из каждой вершины выходят 4 линии. Таким образом, степень каждой из 8 вершин равна 4 (четная).

Все вершины имеют четную степень, количество вершин с нечетной степенью равно 0. Следовательно, эту фигуру также можно нарисовать одним росчерком.

Рассмотрим вершины этой фигуры. Всего их 8:

• 5 вершин на окружности, где к ней подходят внутренние отрезки. Степень каждой из них равна 3 (две дуги окружности и один отрезок).
• 3 вершины внутри окружности, где пересекаются отрезки (T-образные пересечения). Степень каждой из них также равна 3.

Все 8 вершин этой фигуры имеют нечетную степень. Поскольку количество вершин с нечетной степенью (8) больше двух, эту фигуру невозможно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Таким образом, единственная фигура из предложенных, которую нельзя нарисовать заданным способом, — это фигура под буквой в).

Ответ: в)