Страница 162 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

724. Нарисуйте по правилам, приведённым в задаче 723, фигуру, изображённую на рисунке 152.

Рис. 152

Поскольку в условии задачи 724 указано использовать правила из задачи 723, а сама задача 723 не приведена, будем исходить из стандартного предположения, что построение необходимо выполнить с помощью циркуля и линейки без делений. Фигура на рисунке 152 представляет собой квадрат, вписанный в окружность. Для её построения выполним следующие шаги:

1. С помощью циркуля начертим произвольную окружность. Отметим её центр как точку $O$.

2. С помощью линейки проведём через центр $O$ прямую линию до пересечения с окружностью в двух точках. Назовём эти точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диаметром окружности.

3. Теперь построим второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого установим ножку циркуля в точку $A$ и проведём дугу с радиусом, который заведомо больше радиуса окружности (например, равным диаметру $AC$).

4. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах. Назовём точки пересечения дуг $M$ и $N$.

5. С помощью линейки проведём прямую через точки $M$ и $N$. По построению, эта прямая будет перпендикулярна диаметру $AC$ и пройдёт через центр окружности $O$. Она пересечёт окружность в двух точках. Назовём их $B$ и $D$. Отрезок $BD$ — это второй диаметр, и по построению он перпендикулярен диаметру $AC$.

6. Последовательно соединим точки $A$, $B$, $C$ и $D$ с помощью линейки.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом, вписанным в окружность. Это следует из того, что его диагонали $AC$ и $BD$ равны (как диаметры одной окружности), взаимно перпендикулярны (по построению) и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Четырёхугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.

Ответ: Для построения фигуры необходимо начертить окружность, провести в ней два взаимно перпендикулярных диаметра и последовательно соединить точки их пересечения с окружностью.

725. Нарисуйте по тем же правилам (см. задачу 723) фигуру, изображённую на рисунке 153.

Рис. 153

Для построения фигуры, изображенной на рисунке 153, с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Начертите окружность произвольного радиуса с центром в точке O. Проведите через центр O вертикальный диаметр. Верхнюю точку пересечения диаметра с окружностью обозначьте буквой A. Эта точка будет вершиной верхней части фигуры (треугольника).

2. Выберите на окружности произвольную точку C, не лежащую на диаметре. Это будет одна из вершин прямоугольника (например, правая верхняя). Постройте точку B, симметричную точке C относительно вертикального диаметра. Для этого проведите через C прямую, перпендикулярную диаметру. Вторая точка пересечения этой прямой с окружностью будет точкой B. Отрезок BC — верхняя сторона прямоугольника.

3. Постройте остальные вершины прямоугольника. Проведите прямую через точку B и центр O до пересечения с окружностью в точке D. Это будет правая нижняя вершина. Аналогично проведите прямую через C и O до пересечения с окружностью в точке E. Это будет левая нижняя вершина. Четырехугольник BCDE является прямоугольником, так как его диагонали BD и CE являются диаметрами окружности.

4. Соедините построенные точки отрезками для завершения фигуры. Соедините точку A с точками B и C. Начертите стороны прямоугольника CD, DE и EB (сторона BC уже построена). Проведите диагонали прямоугольника BD и CE (они совпадают с построенными ранее диаметрами).

В результате будет построена требуемая фигура, все вершины которой лежат на окружности.

Ответ: Алгоритм построения, описанный в шагах 1-4, позволяет начертить заданную фигуру с помощью циркуля и линейки.

726. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений.

Чтобы фигуру можно было нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной и той же линии дважды, она должна соответствовать правилу из теории графов об эйлеровых путях. Такую фигуру можно представить как набор вершин (узлов) и рёбер (линий). Количество линий, сходящихся в одной вершине, называется степенью вершины.

• Если у фигуры нет вершин с нечётной степенью (т.е. все вершины "чётные"), то её можно нарисовать, начав в любой точке и закончив в ней же. Такая фигура будет замкнутой.
• Если у фигуры ровно две вершины с нечётной степенью, её тоже можно нарисовать одним росчерком, но начинать нужно в одной из "нечётных" вершин, а заканчивать — в другой. Такая фигура будет незамкнутой.

Условие "без самопересечений" означает, что линии фигуры не должны пересекаться друг с другом (кроме как в вершинах).

Вот несколько примеров таких фигур:

1. Фигура "Конверт"

Эта фигура представляет собой прямоугольник с двумя диагоналями. У неё 5 вершин: четыре угла прямоугольника и точка пересечения диагоналей в центре.

Посчитаем степень каждой вершины:

• Центральная вершина: в ней сходятся 4 линии (четыре половинки диагоналей). Степень 4 (чётная).
• Четыре угловые вершины: в каждой из них сходятся 3 линии (две стороны прямоугольника и одна диагональ). Степень 3 (нечётная).

У этой фигуры 4 нечётные вершины. Согласно правилу, фигуру, у которой больше двух нечётных вершин, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Этот пример показывает, как важно проверять условия. Давайте придумаем фигуру, которая подходит.

1. Фигура "Домик"

Эта фигура состоит из квадрата и треугольной "крыши" над ним. У неё 5 вершин. Подсчитаем степень каждой из них:

• Две нижние вершины квадрата: в каждой сходится по 2 линии. Степень 2 (чётная).
• Вершина на коньке крыши: в ней сходятся 2 линии. Степень 2 (чётная).
• Две верхние вершины квадрата (они же — основание крыши): в каждой сходится по 3 линии (сторона квадрата, боковая сторона крыши и общая сторона-основание крыши). Степень 3 (нечётная).

У "домика" ровно две нечётные вершины. Значит, его можно нарисовать одним росчерком. Начинать нужно в одной из верхних вершин квадрата, а заканчивать в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура "Домик", состоящая из квадрата и треугольной крыши.

2. Спираль

Простая спираль — это незамкнутая кривая линия. У неё есть две "особые" точки — начало и конец. В этих точках "сходится" только одна линия. Это наши две нечётные вершины (степень 1). Все остальные точки на кривой можно считать вершинами степени 2. Таким образом, спираль можно нарисовать, не отрывая карандаша, начав в центре и закончив на внешнем витке (или наоборот). Линия спирали не пересекает саму себя.

Ответ: Спираль.

3. Любой простой многоугольник (например, восьмиугольник)

Простой многоугольник — это замкнутая фигура без самопересечений. В каждой его вершине сходятся ровно две стороны. Следовательно, все его вершины имеют степень 2 (чётную). Такую фигуру можно нарисовать, начав с любой вершины и обойдя все стороны по порядку, вернувшись в исходную точку.

Ответ: Восьмиугольник.

727. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 154). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее. Решите задачу:

a) для четырёх колец;

б) для пяти колец.

Рис. 154

Это классическая задача-головоломка, известная как «Ханойская башня». Цель состоит в том, чтобы переместить все кольца с одного штырька на другой, соблюдая два правила: можно перемещать только одно кольцо за раз и нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Минимальное количество ходов, необходимое для перемещения $n$ колец, можно найти по формуле: $M_n = 2^n - 1$.

Давайте разберемся, откуда берется эта формула. Пусть $M_n$ — минимальное количество ходов для $n$ колец. Чтобы переместить башню из $n$ колец со штырька A на штырёк C, используя штырек B как вспомогательный, необходимо выполнить следующие действия:

1. Переместить верхние $n-1$ колец со штырька A на вспомогательный штырёк B. Для этого потребуется $M_{n-1}$ ходов.
2. Переместить самое большое, $n$-ое кольцо, со штырька A на целевой штырёк C. Это займёт 1 ход.
3. Переместить $n-1$ колец со вспомогательного штырька B на целевой штырёк C. Для этого снова потребуется $M_{n-1}$ ходов.

Таким образом, мы получаем рекуррентное соотношение: $M_n = M_{n-1} + 1 + M_{n-1} = 2M_{n-1} + 1$.

Зная, что для одного кольца ($n=1$) требуется 1 ход ($M_1=1$), можно последовательно найти количество ходов для любого числа колец:

• $M_1 = 1$
• $M_2 = 2 \cdot M_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$
• $M_3 = 2 \cdot M_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Решение этого рекуррентного соотношения приводит к общей формуле $M_n = 2^n - 1$. Теперь применим ее для решения задачи.

Для перемещения пирамиды из четырёх колец ($n=4$), подставим это значение в нашу формулу.

Количество ходов $M_4 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Можно также рассуждать пошагово, используя результат для трех колец ($M_3=7$):

1. Переместить башню из 3-х верхних колец на вспомогательный штырёк. Это займёт 7 ходов.
2. Переместить самое большое, 4-е кольцо, на целевой штырёк. Это 1 ход.
3. Переместить башню из 3-х колец со вспомогательного штырька на целевой, поверх самого большого. Это займёт ещё 7 ходов.

Итого: $7 + 1 + 7 = 15$ ходов.

Ответ: 15 ходов.

Для перемещения пирамиды из пяти колец ($n=5$), действуем аналогично.

Количество ходов $M_5 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.

Или пошагово, используя результат для четырех колец ($M_4=15$):

1. Переместить башню из 4-х верхних колец на вспомогательный штырёк. Это займёт 15 ходов.
2. Переместить самое большое, 5-е кольцо, на целевой штырёк. Это 1 ход.
3. Переместить башню из 4-х колец со вспомогательного штырька на целевой. Это займёт ещё 15 ходов.

Итого: $15 + 1 + 15 = 31$ ход.

Ответ: 31 ход.