Номер 726, страница 162 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

726. Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений.

Чтобы фигуру можно было нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной и той же линии дважды, она должна соответствовать правилу из теории графов об эйлеровых путях. Такую фигуру можно представить как набор вершин (узлов) и рёбер (линий). Количество линий, сходящихся в одной вершине, называется степенью вершины.

• Если у фигуры нет вершин с нечётной степенью (т.е. все вершины "чётные"), то её можно нарисовать, начав в любой точке и закончив в ней же. Такая фигура будет замкнутой.
• Если у фигуры ровно две вершины с нечётной степенью, её тоже можно нарисовать одним росчерком, но начинать нужно в одной из "нечётных" вершин, а заканчивать — в другой. Такая фигура будет незамкнутой.

Условие "без самопересечений" означает, что линии фигуры не должны пересекаться друг с другом (кроме как в вершинах).

Вот несколько примеров таких фигур:

1. Фигура "Конверт"

Эта фигура представляет собой прямоугольник с двумя диагоналями. У неё 5 вершин: четыре угла прямоугольника и точка пересечения диагоналей в центре.

Посчитаем степень каждой вершины:

• Центральная вершина: в ней сходятся 4 линии (четыре половинки диагоналей). Степень 4 (чётная).
• Четыре угловые вершины: в каждой из них сходятся 3 линии (две стороны прямоугольника и одна диагональ). Степень 3 (нечётная).

У этой фигуры 4 нечётные вершины. Согласно правилу, фигуру, у которой больше двух нечётных вершин, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Этот пример показывает, как важно проверять условия. Давайте придумаем фигуру, которая подходит.

1. Фигура "Домик"

Эта фигура состоит из квадрата и треугольной "крыши" над ним. У неё 5 вершин. Подсчитаем степень каждой из них:

• Две нижние вершины квадрата: в каждой сходится по 2 линии. Степень 2 (чётная).
• Вершина на коньке крыши: в ней сходятся 2 линии. Степень 2 (чётная).
• Две верхние вершины квадрата (они же — основание крыши): в каждой сходится по 3 линии (сторона квадрата, боковая сторона крыши и общая сторона-основание крыши). Степень 3 (нечётная).

У "домика" ровно две нечётные вершины. Значит, его можно нарисовать одним росчерком. Начинать нужно в одной из верхних вершин квадрата, а заканчивать в другой. Фигура не имеет самопересечений.

Ответ: Фигура "Домик", состоящая из квадрата и треугольной крыши.

2. Спираль

Простая спираль — это незамкнутая кривая линия. У неё есть две "особые" точки — начало и конец. В этих точках "сходится" только одна линия. Это наши две нечётные вершины (степень 1). Все остальные точки на кривой можно считать вершинами степени 2. Таким образом, спираль можно нарисовать, не отрывая карандаша, начав в центре и закончив на внешнем витке (или наоборот). Линия спирали не пересекает саму себя.

Ответ: Спираль.

3. Любой простой многоугольник (например, восьмиугольник)

Простой многоугольник — это замкнутая фигура без самопересечений. В каждой его вершине сходятся ровно две стороны. Следовательно, все его вершины имеют степень 2 (чётную). Такую фигуру можно нарисовать, начав с любой вершины и обойдя все стороны по порядку, вернувшись в исходную точку.

Ответ: Восьмиугольник.