Номер 722, страница 161 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

722. a) Имеются ли среди чисел $2!$, $3!$, $4!$, $5!$, $6!$, $7!$, ... (см. задачу 719) взаимно простые числа?

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел $100!$ и $50!$?

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел $100!$ и $50!$?

Рис. 149

а) Имеются ли среди чисел 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, ... взаимно простые числа?

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Рассмотрим два любых числа из этой последовательности, например, $m!$ и $n!$, где $m < n$ и $m \ge 2$.
По определению факториала:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot m \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n$
Мы видим, что $n!$ можно представить как произведение $m!$ и последующих чисел:
$n! = (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot m) \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n = m! \cdot (m+1) \cdot \dots \cdot n$
Это означает, что $m!$ является делителем $n!$.
Следовательно, наибольший общий делитель для $m!$ и $n!$ будет равен меньшему из чисел, то есть $m!$.
$НОД(m!, n!) = m!$
Поскольку в заданной последовательности наименьшее число — это $2! = 2$, то для любой пары чисел $m!$ и $n!$ (где $m < n$) их НОД будет равен $m!$, а $m! \ge 2$.
Так как НОД любой пары чисел из этой последовательности всегда больше 1, среди них нет взаимно простых чисел.
Ответ: Нет.

б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!?

Воспользуемся рассуждениями из пункта а). У нас есть два числа: $50!$ и $100!$.
Поскольку $50 < 100$, то число $100!$ содержит в себе произведение всех чисел от 1 до 50, то есть $50!$.
$100! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 50 \cdot 51 \cdot \dots \cdot 100 = 50! \cdot (51 \cdot 52 \cdot \dots \cdot 100)$
Из этого следует, что $50!$ является делителем числа $100!$.
Когда одно число является делителем другого, их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.
$НОД(100!, 50!) = 50!$
Ответ: 50!

в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.
Мы уже установили, что $100!$ делится на $50!$ (так как $100! = 50! \cdot 51 \cdot \dots \cdot 100$).
Также очевидно, что $100!$ делится само на себя.
Следовательно, $100!$ является общим кратным для чисел $100!$ и $50!$.
Поскольку любое другое общее кратное должно быть кратно $100!$, оно не может быть меньше, чем $100!$.
Таким образом, $100!$ является наименьшим общим кратным.
В общем случае, если число $a$ делится на число $b$, то $НОК(a, b) = a$.
$НОК(100!, 50!) = 100!$
Ответ: 100!