Номер 718, страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Этот фокус основан на свойстве делимости чисел на 9. Ключевой момент заключается в том, что разность между любым числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда делится на 9 без остатка.

Объяснение фокуса с помощью признака делимости на 9

1. Свойство разности чисел.
Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Из этого следует более общее свойство: любое число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9.

Пусть товарищ задумал трёхзначное число $N_1$, состоящее из цифр $a, b, c$. Сумма его цифр равна $S = a + b + c$.
При делении на 9 число $N_1$ даёт такой же остаток, как и сумма его цифр $S$. Математически это записывается так: $N_1 \equiv (a+b+c) \pmod{9}$.

Далее он переставляет цифры и получает новое число $N_2$. Поскольку цифры те же, сумма цифр у числа $N_2$ остаётся прежней: $S = a + b + c$.
Следовательно, число $N_2$ даёт такой же остаток при делении на 9: $N_2 \equiv (a+b+c) \pmod{9}$.

Поскольку оба числа, $N_1$ и $N_2$, имеют одинаковый остаток при делении на 9, их разность $R = |N_1 - N_2|$ будет делиться на 9 нацело:
$R = |N_1 - N_2| \equiv (a+b+c) - (a+b+c) \equiv 0 \pmod{9}$

2. Определение зачёркнутой цифры.
Итак, мы доказали, что полученная разность $R$ всегда кратна 9. А если число кратно 9, то и сумма его цифр (обозначим её $S_R$) тоже кратна 9. То есть $S_R$ — это число, равное 9, 18, 27 и т.д.

Товарищ зачёркивает одну из цифр числа $R$ (назовём её $d$) и сообщает вам сумму оставшихся цифр (назовём её $S_{ост}$).
Очевидно, что полная сумма цифр числа $R$ равна сумме оставшихся цифр плюс зачёркнутая цифра: $S_R = S_{ост} + d$.

Поскольку мы знаем, что $S_R$ должно быть кратно 9, мы можем легко найти $d$. Для этого нужно найти ближайшее к $S_{ост}$ (в большую сторону или равное ему) число, кратное 9. Разница между этим числом и сообщённой суммой $S_{ост}$ и будет искомой цифрой $d$.

Пример:

• Товарищ задумал число 725.
• Переставил цифры и получил 257.
• Вычел меньшее из большего: $725 - 257 = 468$. (Проверка: сумма цифр $4+6+8 = 18$, делится на 9).
• Зачеркнул цифру 6.
• Назвал вам сумму оставшихся цифр: $4 + 8 = 12$.

Ваши действия:

Вы услышали сумму 12. Ближайшее число, кратное 9, которое не меньше 12, — это 18. Значит, зачеркнутая цифра $d$ равна $18 - 12 = 6$. Вы правильно определили цифру.

Особый случай: Если названная сумма сама по себе кратна 9 (например, 9 или 18), то зачеркнутой цифрой может быть как 0, так и 9. В классической версии этого фокуса принято считать, что в таком случае была зачёркнута цифра 9.

Ответ: Разность между числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда кратна 9. Следовательно, сумма цифр этой разности также кратна 9. Зная сумму незачёркнутых цифр, можно однозначно определить зачёркнутую цифру, дополнив эту сумму до ближайшего большего или равного ей числа, кратного 9.