Страница 160 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

716. Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса.

Отметим, что:

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Научитесь выполнять этот фокус.

Секрет фокуса основан на свойствах чётных и нечётных чисел (на их чётности). Давайте разберём его математически.

Пусть $R$ — номинал монеты в правой руке, а $L$ — номинал монеты в левой руке. Согласно условию, мы вычисляем сумму $S$ по формуле:

$S = R \times 2 + L \times 3$

Рассмотрим чётность каждого слагаемого в этой сумме.

1. Первое слагаемое — $R \times 2$. Любое целое число, умноженное на 2, становится чётным. Таким образом, $R \times 2$ — это всегда чётное число, независимо от того, какая монета находится в правой руке.

2. Второе слагаемое — $L \times 3$. Поскольку 3 — нечётное число, чётность этого произведения зависит только от чётности числа $L$:
• Если $L$ — чётное число (в нашем случае, 2 рубля), то и произведение $L \times 3$ будет чётным ($2 \times 3 = 6$).
• Если $L$ — нечётное число (в нашем случае, 5 рублей), то и произведение $L \times 3$ будет нечётным ($5 \times 3 = 15$).

Теперь рассмотрим чётность всей суммы $S$. Она равна сумме чётного числа ($R \times 2$) и числа $L \times 3$.

• Если к чётному числу прибавить чётное, результат будет чётным.
• Если к чётному числу прибавить нечётное, результат будет нечётным.

Следовательно, чётность итоговой суммы $S$ полностью совпадает с чётностью слагаемого $L \times 3$, а значит, и с чётностью номинала монеты в левой руке $L$.

Отсюда и разгадка:

• Если вам сообщают, что сумма чётная, это значит, что в левой руке находится монета с чётным номиналом, то есть двухрублёвая монета.
• Если вам сообщают, что сумма нечётная, это значит, что в левой руке находится монета с нечётным номиналом, то есть пятирублёвая монета. А раз пятирублёвая в левой, значит двухрублёвая — в правой.

Это полностью соответствует правилу, описанному в задаче.

1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты;

Главное условие для монет, чтобы фокус сработал — их номиналы должны иметь разную чётность. То есть, одна монета должна быть чётной, а другая — нечётной. Это позволяет однозначно определить монету по чётности итоговой суммы.

• Пара 1 рубль (нечётное) и 2 рубля (чётное) подходит.
• Пара 5 рублей (нечётное) и 10 рублей (чётное) подходит.
• Пара 1 рубль (нечётное) и 5 рублей (нечётное) не подходит. Если обе монеты нечётные, то какая бы из них ни оказалась в левой руке, результат $L \times 3$ всегда будет нечётным, а итоговая сумма $S$ — тоже всегда нечётной. Вы не сможете различить, какая именно монета где.

Ответ: Фокус работает только тогда, когда номиналы монет имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5.

Главное условие для множителей, чтобы фокус сработал — они должны иметь разную чётность. Один множитель должен быть чётным, а другой — нечётным.

Чётный множитель "скрывает" чётность монеты в одной руке (произведение всегда чётно), а нечётный множитель "показывает" чётность монеты в другой руке (чётность произведения совпадает с чётностью монеты). Таким образом, итоговая чётность суммы зависит только от монеты в той руке, которую мы умножаем на нечётное число.

• Пары множителей 2 (чётн.) и 5 (нечётн.), 4 (чётн.) и 5 (нечётн.), 6 (чётн.) и 9 (нечётн.) подходят, так как в каждой паре есть одно чётное и одно нечётное число.
• Пара 3 (нечётн.) и 5 (нечётн.) не подходит. Если оба множителя нечётные, то чётность суммы $S = R \times 3 + L \times 5$ будет зависеть от чётности обеих монет. Так как одна монета чётная, а другая нечётная, одно слагаемое всегда будет чётным, а другое — нечётным. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна. Вы получите нечётный результат независимо от того, в какой руке какая монета, и не сможете их различить.

Ответ: Фокус работает только тогда, когда множители имеют разную чётность (один чётный, другой нечётный).

Научитесь выполнять этот фокус

Чтобы выполнить фокус, следуйте этим шагам:

1. Подготовка. Возьмите две монеты с разной чётностью номинала (например, 2 рубля и 5 рублей). Придумайте два множителя, также с разной чётностью (например, 4 и 7).

2. Инструкция. Попросите зрителя спрятать по одной монете в каждую руку. Затем дайте ему чёткую инструкцию, какой множитель для какой руки использовать. Например: «Умножь число рублей в правой руке на 4, а в левой — на 7. Сложи результаты и скажи мне только, чётная или нечётная получилась у тебя сумма».

3. Разгадка. Вы должны запомнить, для какой руки вы назвали нечётный множитель (в нашем примере это 7 для левой руки). Чётность итоговой суммы, которую вам назовёт зритель, будет совпадать с чётностью номинала монеты именно в этой руке.
• Если зритель говорит «чётная», значит, в руке с нечётным множителем (в левой) лежит монета с чётным номиналом (2 рубля).
• Если зритель говорит «нечётная», значит, в руке с нечётным множителем (в левой) лежит монета с нечётным номиналом (5 рублей).

Зная, какая монета в одной руке, вы легко можете объявить, где какая из них находится.

717. Найдите все числа вида $\overline{5a4b}$, кратные 36.

Чтобы число вида $\overline{5a4b}$ было кратно 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, поскольку $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4. В нашем случае число $\overline{4b}$ должно быть кратно 4. Перебирая возможные значения для цифры $b$ от 0 до 9, находим, что этому условию удовлетворяют числа 40, 44 и 48. Следовательно, $b$ может принимать значения 0, 4 или 8.

2. Признак делимости на 9.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{5a4b}$ равна $5 + a + 4 + b = 9 + a + b$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как слагаемое 9 уже делится на 9, то и сумма $(a + b)$ должна быть кратна 9.

Теперь объединим оба условия и рассмотрим каждый возможный случай для $b$.

Случай 1: $b = 0$.
Сумма $a + b = a + 0 = a$ должна делиться на 9. Поскольку $a$ – это цифра ($0 \le a \le 9$), возможные значения для $a$ – это 0 и 9. Получаем два числа: 5040 и 5940.

Случай 2: $b = 4$.
Сумма $a + b = a + 4$ должна делиться на 9. Поскольку $0 \le a \le 9$, то $4 \le a + 4 \le 13$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, – это 9. Значит, $a + 4 = 9$, откуда $a = 5$. Получаем число: 5544.

Случай 3: $b = 8$.
Сумма $a + b = a + 8$ должна делиться на 9. Поскольку $0 \le a \le 9$, то $8 \le a + 8 \le 17$. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, – это 9. Значит, $a + 8 = 9$, откуда $a = 1$. Получаем число: 5148.

Таким образом, мы нашли все подходящие числа. Расположим их в порядке возрастания: 5040, 5148, 5544, 5940.

Ответ: 5040, 5148, 5544, 5940.

718. Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус.

Этот фокус основан на свойстве делимости чисел на 9. Ключевой момент заключается в том, что разность между любым числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда делится на 9 без остатка.

Объяснение фокуса с помощью признака делимости на 9

1. Свойство разности чисел.
Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Из этого следует более общее свойство: любое число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9.

Пусть товарищ задумал трёхзначное число $N_1$, состоящее из цифр $a, b, c$. Сумма его цифр равна $S = a + b + c$.
При делении на 9 число $N_1$ даёт такой же остаток, как и сумма его цифр $S$. Математически это записывается так: $N_1 \equiv (a+b+c) \pmod{9}$.

Далее он переставляет цифры и получает новое число $N_2$. Поскольку цифры те же, сумма цифр у числа $N_2$ остаётся прежней: $S = a + b + c$.
Следовательно, число $N_2$ даёт такой же остаток при делении на 9: $N_2 \equiv (a+b+c) \pmod{9}$.

Поскольку оба числа, $N_1$ и $N_2$, имеют одинаковый остаток при делении на 9, их разность $R = |N_1 - N_2|$ будет делиться на 9 нацело:
$R = |N_1 - N_2| \equiv (a+b+c) - (a+b+c) \equiv 0 \pmod{9}$

2. Определение зачёркнутой цифры.
Итак, мы доказали, что полученная разность $R$ всегда кратна 9. А если число кратно 9, то и сумма его цифр (обозначим её $S_R$) тоже кратна 9. То есть $S_R$ — это число, равное 9, 18, 27 и т.д.

Товарищ зачёркивает одну из цифр числа $R$ (назовём её $d$) и сообщает вам сумму оставшихся цифр (назовём её $S_{ост}$).
Очевидно, что полная сумма цифр числа $R$ равна сумме оставшихся цифр плюс зачёркнутая цифра: $S_R = S_{ост} + d$.

Поскольку мы знаем, что $S_R$ должно быть кратно 9, мы можем легко найти $d$. Для этого нужно найти ближайшее к $S_{ост}$ (в большую сторону или равное ему) число, кратное 9. Разница между этим числом и сообщённой суммой $S_{ост}$ и будет искомой цифрой $d$.

Пример:

• Товарищ задумал число 725.
• Переставил цифры и получил 257.
• Вычел меньшее из большего: $725 - 257 = 468$. (Проверка: сумма цифр $4+6+8 = 18$, делится на 9).
• Зачеркнул цифру 6.
• Назвал вам сумму оставшихся цифр: $4 + 8 = 12$.

Ваши действия:

Вы услышали сумму 12. Ближайшее число, кратное 9, которое не меньше 12, — это 18. Значит, зачеркнутая цифра $d$ равна $18 - 12 = 6$. Вы правильно определили цифру.

Особый случай: Если названная сумма сама по себе кратна 9 (например, 9 или 18), то зачеркнутой цифрой может быть как 0, так и 9. В классической версии этого фокуса принято считать, что в таком случае была зачёркнута цифра 9.

Ответ: Разность между числом и числом, полученным из него перестановкой цифр, всегда кратна 9. Следовательно, сумма цифр этой разности также кратна 9. Зная сумму незачёркнутых цифр, можно однозначно определить зачёркнутую цифру, дополнив эту сумму до ближайшего большего или равного ей числа, кратного 9.

719. Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!.

— Что это это за восклицательный знак? — спросил он.

— Это не восклицательный знак. Запись 5! читается «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа n (n > 1) запись n! читается «эн факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до n:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n.$

Считается, что

$1! = 1.$

Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!.

В задаче требуется вычислить значения факториалов для чисел 2, 3, 4, 5 и 7.
Факториал натурального числа $n$, обозначаемый как $n!$, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$.

2!

Вычислим факториал числа 2. Это произведение натуральных чисел от 1 до 2.
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
Ответ: 2

3!

Вычислим факториал числа 3. Это произведение натуральных чисел от 1 до 3. Можно также использовать уже вычисленное значение $2!$:
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = (1 \cdot 2) \cdot 3 = 2! \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: 6

4!

Вычислим факториал числа 4. Это произведение натуральных чисел от 1 до 4. Используем уже вычисленное значение $3!$:
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 3! \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$
Ответ: 24

5!

Вычислим факториал числа 5. Это произведение натуральных чисел от 1 до 5. Используем уже вычисленное значение $4!$:
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$
Ответ: 120

7!

Вычислим факториал числа 7. Это произведение натуральных чисел от 1 до 7. Используем уже вычисленное значение $5!$:
$7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5! \cdot 6 \cdot 7 = 120 \cdot 6 \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040$
Ответ: 5040

720. Докажите, что:

a) $99 \cdot 99! + 99! = 100!$;

б) $1000! - 999! = 999 \cdot 999!$.

а)

Для доказательства равенства $99 \cdot 99! + 99! = 100!$ преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $99!$ за скобки:

$99 \cdot 99! + 99! = (99 + 1) \cdot 99!$

Выполним сложение в скобках:

$(99 + 1) \cdot 99! = 100 \cdot 99!$

Согласно определению факториала, $n! = n \cdot (n-1)!$. Применим это свойство для $100!$:

$100! = 100 \cdot (100-1)! = 100 \cdot 99!$

Таким образом, левая часть равенства равна $100 \cdot 99!$, что равно $100!$. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Для доказательства равенства $1000! - 999! = 999 \cdot 999!$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением факториала, чтобы выразить $1000!$ через $999!$:

$1000! = 1000 \cdot (1000-1)! = 1000 \cdot 999!$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$1000 \cdot 999! - 999!$

Теперь вынесем общий множитель $999!$ за скобки:

$(1000 - 1) \cdot 999!$

Выполним вычитание в скобках:

$999 \cdot 999!$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.