Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

733. На рисунке 155 изображены часы.

а) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками, считая от минутной стрелки к часовой по их ходу, в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин?

б) Какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки: за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин?

в) Какую часть часа составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин?

а)

Циферблат часов представляет собой окружность, разделенную на 12 равных часовых делений. Чтобы найти искомую часть окружности, нужно определить, сколько часовых делений находится между минутной и часовой стрелками (считая по их ходу), и разделить это число на 12.

В 6 ч 00 мин минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 6. Расстояние между ними по ходу стрелок составляет 6 часовых делений. Таким образом, часть окружности равна:
$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

В 3 ч 00 мин минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Расстояние между ними по ходу стрелок составляет 3 часовых деления. Таким образом, часть окружности равна:
$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

б)

Минутная стрелка совершает полный оборот по окружности (циферблату) за 60 минут. Чтобы найти, какую часть окружности она пройдет за определенное время, нужно это время (в минутах) разделить на 60 минут.

• за 30 мин: $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ окружности.
  Ответ: $\frac{1}{2}$
• за 15 мин: $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ окружности.
  Ответ: $\frac{1}{4}$
• за 20 мин: $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ окружности.
  Ответ: $\frac{1}{3}$
• за 45 мин: $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ окружности.
  Ответ: $\frac{3}{4}$
• за 40 мин: $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ окружности.
  Ответ: $\frac{2}{3}$

в)

Один час состоит из 60 минут. Чтобы найти, какую часть часа составляет определенное количество минут, нужно это количество минут разделить на 60.

• 10 мин: $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.
  Ответ: $\frac{1}{6}$
• 5 мин: $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ часа.
  Ответ: $\frac{1}{12}$
• 25 мин: $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ часа.
  Ответ: $\frac{5}{12}$
• 55 мин: $\frac{55}{60} = \frac{11}{12}$ часа.
  Ответ: $\frac{11}{12}$

734. Перечертите в тетрадь квадрат $4 \times 4$ клетки (рис. 156). Закрасьте:

a) $\frac{1}{2}$ квадрата;

б) $\frac{1}{4}$ квадрата;

в) $\frac{1}{8}$ квадрата.

Рис. 156

Квадрат на рисунке 156 состоит из $4 \times 4$ клеток, то есть всего в нем 16 клеток. Чтобы закрасить определенную часть квадрата, нужно найти, сколько клеток составляет эта часть от общего количества.

а) Чтобы закрасить $\frac{1}{2}$ квадрата, найдем, сколько клеток это составит:

$16 \times \frac{1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ клеток.

Следовательно, нужно закрасить 8 клеток из 16. Это можно сделать разными способами, например, закрасить две верхние строки или два левых столбца. Ниже приведен один из возможных вариантов.

Ответ: Нужно закрасить 8 клеток.

б) Чтобы закрасить $\frac{1}{4}$ квадрата, найдем, сколько клеток это составит:

$16 \times \frac{1}{4} = \frac{16}{4} = 4$ клетки.

Следовательно, нужно закрасить 4 клетки из 16. Например, можно закрасить одну строку или квадрат $2 \times 2$ в углу. Ниже приведен один из возможных вариантов.

Ответ: Нужно закрасить 4 клетки.

в) Чтобы закрасить $\frac{1}{8}$ квадрата, найдем, сколько клеток это составит:

$16 \times \frac{1}{8} = \frac{16}{8} = 2$ клетки.

Следовательно, нужно закрасить 2 клетки из 16. Например, можно закрасить первые две клетки в верхней строке. Ниже приведен один из возможных вариантов.

Ответ: Нужно закрасить 2 клетки.

735. На рисунке 157 отрезок $AB$ разделён на 6 равных частей. Какую часть отрезка $AB$ составляет отрезок $AD$?

a) $A$ $D$ $B$

б) $A$ $D$ $B$

в) $A$ $D$ $B$

г) $A$ $D$ $B$

Рис. 157

а) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. Отрезок AD на рисунке а) состоит из 1 такой части. Следовательно, отрезок AD составляет $\frac{1}{6}$ часть отрезка AB.
Ответ: $\frac{1}{6}$

б) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. Отрезок AD на рисунке б) состоит из 3 таких частей. Следовательно, отрезок AD составляет $\frac{3}{6}$ часть отрезка AB. Сократив дробь, получаем: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. Отрезок AD на рисунке в) состоит из 2 таких частей. Следовательно, отрезок AD составляет $\frac{2}{6}$ часть отрезка AB. Сократив дробь, получаем: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Весь отрезок AB разделён на 6 равных частей. Отрезок AD на рисунке г) состоит из 4 таких частей. Следовательно, отрезок AD составляет $\frac{4}{6}$ часть отрезка AB. Сократив дробь, получаем: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

736. Постройте отрезок длиной 6 см. Отметьте $\frac{1}{6}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{6}{6}$ этого отрезка.

Для выполнения задания сначала необходимо начертить отрезок длиной 6 см с помощью линейки. Обозначим его начало как точку А, а конец — как точку В.

Далее, чтобы отметить на отрезке указанные доли, нужно разделить его на 6 равных частей. Поскольку общая длина отрезка составляет 6 см, найдем длину одной такой части:
$ 6 \text{ см} \div 6 = 1 \text{ см} $
Следовательно, каждая шестая часть ($\frac{1}{6}$) отрезка равна 1 см.

Теперь можно отметить точки, соответствующие каждой доле, отмеряя расстояние от начала отрезка (точки А):

• Точка, соответствующая $\frac{1}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{1}{6} = 1 \text{ см} $ от начала.
• Точка, соответствующая $\frac{2}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{2}{6} = 2 \text{ см} $ от начала.
• Точка, соответствующая $\frac{3}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{3}{6} = 3 \text{ см} $ от начала.
• Точка, соответствующая $\frac{4}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{4}{6} = 4 \text{ см} $ от начала.
• Точка, соответствующая $\frac{5}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{5}{6} = 5 \text{ см} $ от начала.
• Точка, соответствующая $\frac{6}{6}$ отрезка, находится на расстоянии $ 6 \text{ см} \times \frac{6}{6} = 6 \text{ см} $ от начала, что совпадает с концом отрезка (точкой В).

Таким образом, для выполнения задания необходимо начертить отрезок длиной 6 см и поставить на нем отметки через каждый сантиметр.

Ответ: На построенном отрезке длиной 6 см нужно сделать отметки на расстоянии 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см от его начала. Эти отметки будут соответствовать долям $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}$ и $\frac{6}{6}$ отрезка.

737. Постройте отрезок $AB = 6$ см. Постройте отрезок $CD$, равный:

а) $\frac{1}{2}AB$;

б) $\frac{1}{3}AB$;

в) $\frac{2}{3}AB$.

а) Чтобы найти длину отрезка $CD$, равного $\frac{1}{2}AB$, нужно длину отрезка $AB$ умножить на $\frac{1}{2}$. Поскольку $AB = 6$ см, то длина отрезка $CD$ будет равна:
$CD = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Для построения нужно с помощью линейки начертить отрезок $CD$ длиной 3 см.
Ответ: 3 см.

б) Чтобы найти длину отрезка $CD$, равного $\frac{1}{3}AB$, нужно длину отрезка $AB$ умножить на $\frac{1}{3}$. Поскольку $AB = 6$ см, то длина отрезка $CD$ будет равна:
$CD = \frac{1}{3} \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{6}{3} = 2$ см.
Для построения нужно с помощью линейки начертить отрезок $CD$ длиной 2 см.
Ответ: 2 см.

в) Чтобы найти длину отрезка $CD$, равного $\frac{2}{3}AB$, нужно длину отрезка $AB$ умножить на $\frac{2}{3}$. Поскольку $AB = 6$ см, то длина отрезка $CD$ будет равна:
$CD = \frac{2}{3} \cdot AB = \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.
Для построения нужно с помощью линейки начертить отрезок $CD$ длиной 4 см.
Ответ: 4 см.

738. Постройте отрезок $AB = 15$ см. Отметьте на этом отрезке точки $C, D, M$ так, чтобы $AC = \frac{1}{3}AB$; $AD = \frac{1}{5}AB$; $AM = \frac{2}{3}AB$.

Для того чтобы построить отрезок и отметить на нем точки C, D, M в соответствии с условием, необходимо сначала вычислить длины отрезков AC, AD и AM.

Расположение точки C

По условию $AC = \frac{1}{3}AB$. Подставим значение $AB = 15$ см:

$AC = \frac{1}{3} \times 15 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Следовательно, точка C должна быть отмечена на расстоянии 5 см от точки A.

Ответ: $AC = 5$ см.

Расположение точки D

По условию $AD = \frac{1}{5}AB$. Подставим значение $AB = 15$ см:

$AD = \frac{1}{5} \times 15 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Следовательно, точка D должна быть отмечена на расстоянии 3 см от точки A.

Ответ: $AD = 3$ см.

Расположение точки M

По условию $AM = \frac{2}{3}AB$. Подставим значение $AB = 15$ см:

$AM = \frac{2}{3} \times 15 \text{ см} = \frac{2 \times 15}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ см}$.

Следовательно, точка M должна быть отмечена на расстоянии 10 см от точки A.

Ответ: $AM = 10$ см.

Построение

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 15 см.

2. От точки A отложите 3 см и отметьте точку D.

3. От точки A отложите 5 см и отметьте точку C.

4. От точки A отложите 10 см и отметьте точку M.

Порядок точек на отрезке, начиная от A, будет следующим: D, C, M, B.

739. а) Какую часть от 12 см составляет: 6 см; 3 см; 4 см; 1 см?

б) Какую часть от 42 см составляет: 6 см; 7 см; 14 см?

а)

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, необходимо составить дробь, где в числителе будет искомая часть, а в знаменателе — целое. Затем, если возможно, дробь нужно сократить.

• Какую часть 6 см составляет от 12 см:

  $$ \frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} $$

• Какую часть 3 см составляет от 12 см:

  $$ \frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4} $$

• Какую часть 4 см составляет от 12 см:

  $$ \frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3} $$

• Какую часть 1 см составляет от 12 см:

  $$ \frac{1}{12} $$

Ответ: 6 см составляют $ \frac{1}{2} $ от 12 см; 3 см составляют $ \frac{1}{4} $; 4 см составляют $ \frac{1}{3} $; 1 см составляет $ \frac{1}{12} $.

б)

Аналогично произведем расчеты для 42 см.

• Какую часть 6 см составляет от 42 см:

  $$ \frac{6}{42} = \frac{6 \div 6}{42 \div 6} = \frac{1}{7} $$

• Какую часть 7 см составляет от 42 см:

  $$ \frac{7}{42} = \frac{7 \div 7}{42 \div 7} = \frac{1}{6} $$

• Какую часть 14 см составляет от 42 см:

  $$ \frac{14}{42} = \frac{14 \div 14}{42 \div 14} = \frac{1}{3} $$

Ответ: 6 см составляют $ \frac{1}{7} $ от 42 см; 7 см составляют $ \frac{1}{6} $; 14 см составляют $ \frac{1}{3} $.

740. Отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Запишите в виде дроби, какую часть отреза составляет:

Одна такая часть: $\frac{1}{5}$

Две части: $\frac{2}{5}$

Три части: $\frac{3}{5}$

Четыре части: $\frac{4}{5}$

Пять частей: $\frac{5}{5}$

Запишите длины получаемых при этом частей отреза.

Длина одной части: $15 \cdot \frac{1}{5}$ м

Длина двух частей: $15 \cdot \frac{2}{5}$ м

Длина трех частей: $15 \cdot \frac{3}{5}$ м

Длина четырех частей: $15 \cdot \frac{4}{5}$ м

Длина пяти частей: $15 \cdot \frac{5}{5}$ м

По условию задачи, отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Это означает, что весь отрез (целое) состоит из 5 частей.

1. Найдем, какую часть отреза составляет указанное количество частей.
Знаменатель дроби будет равен общему количеству частей, то есть 5. Числитель будет равен количеству взятых частей.

2. Найдем длину этих частей.
Сначала вычислим длину одной равной части. Для этого общую длину разделим на количество частей:
$15 \text{ м} \div 5 = 3 \text{ м}$.
Длина одной части составляет 3 метра. Теперь мы можем найти длину для любого количества частей.

одна такая часть:
Одна часть из пяти в виде дроби записывается как $\frac{1}{5}$.
Длина одной части равна 3 м.
Ответ: дробь $\frac{1}{5}$, длина 3 м.

две части:
Две части из пяти в виде дроби записываются как $\frac{2}{5}$.
Длина двух частей равна: $2 \times 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
Ответ: дробь $\frac{2}{5}$, длина 6 м.

три части:
Три части из пяти в виде дроби записываются как $\frac{3}{5}$.
Длина трех частей равна: $3 \times 3 \text{ м} = 9 \text{ м}$.
Ответ: дробь $\frac{3}{5}$, длина 9 м.

четыре части:
Четыре части из пяти в виде дроби записываются как $\frac{4}{5}$.
Длина четырех частей равна: $4 \times 3 \text{ м} = 12 \text{ м}$.
Ответ: дробь $\frac{4}{5}$, длина 12 м.

пять частей:
Пять частей из пяти в виде дроби записываются как $\frac{5}{5}$, что равно 1 (весь отрез).
Длина пяти частей равна: $5 \times 3 \text{ м} = 15 \text{ м}$.
Ответ: дробь $\frac{5}{5}$, длина 15 м.