Страница 172 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

766. Сократите дроби по образцу:

a) $\frac{24}{36} = \frac{\cancel{2}^{\text{1}} \cdot 12}{\cancel{2}_{\text{1}} \cdot 18} = \frac{2 \cdot \cancel{6}^{\text{1}}}{3 \cdot \cancel{6}_{\text{1}}} = \frac{2}{3}$, короче: $\frac{\cancel{24}^{\text{2}}}{\cancel{36}_{\text{3}}} = \frac{2}{3}$;

б) $\frac{4}{8}$, $\frac{9}{36}$, $\frac{7}{28}$, $\frac{5}{35}$;

в) $\frac{2}{8}$, $\frac{8}{24}$, $\frac{12}{28}$, $\frac{45}{100}$;

г) $\frac{25}{35}$, $\frac{45}{54}$, $\frac{8}{400}$, $\frac{32}{256}$;

д) $\frac{12}{18}$, $\frac{18}{20}$, $\frac{20}{24}$, $\frac{24}{30}$;

e) $\frac{56}{49}$, $\frac{40}{32}$, $\frac{48}{36}$, $\frac{28}{21}$;

ж) $\frac{21}{56}$, $\frac{144}{120}$, $\frac{156}{128}$, $\frac{396}{240}$.

Для сокращения дроби необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя, после чего разделить на него как числитель, так и знаменатель дроби.

б)

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

$\frac{9}{36} = \frac{9 \div 9}{36 \div 9} = \frac{1}{4}$

$\frac{7}{28} = \frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}$

$\frac{5}{35} = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{7}$.

в)

$\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$

$\frac{8}{24} = \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

$\frac{12}{28} = \frac{12 \div 4}{28 \div 4} = \frac{3}{7}$

$\frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$

Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{9}{20}$.

г)

$\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}$

$\frac{45}{54} = \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6}$

$\frac{8}{400} = \frac{8 \div 8}{400 \div 8} = \frac{1}{50}$

$\frac{32}{256} = \frac{32 \div 32}{256 \div 32} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{5}{7}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{1}{50}$; $\frac{1}{8}$.

д)

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

$\frac{18}{20} = \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10}$

$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$

$\frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{2}{3}$; $\frac{9}{10}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{4}{5}$.

е)

$\frac{56}{49} = \frac{56 \div 7}{49 \div 7} = \frac{8}{7}$

$\frac{40}{32} = \frac{40 \div 8}{32 \div 8} = \frac{5}{4}$

$\frac{48}{36} = \frac{48 \div 12}{36 \div 12} = \frac{4}{3}$

$\frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{8}{7}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{4}{3}$.

ж)

$\frac{21}{56} = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$

$\frac{144}{120} = \frac{144 \div 24}{120 \div 24} = \frac{6}{5}$

$\frac{156}{128} = \frac{156 \div 4}{128 \div 4} = \frac{39}{32}$

$\frac{396}{240} = \frac{396 \div 12}{240 \div 12} = \frac{33}{20}$

Ответ: $\frac{3}{8}$; $\frac{6}{5}$; $\frac{39}{32}$; $\frac{33}{20}$.

767. Запишите натуральные числа 1, 2, 5 в виде дроби со знаменателем:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 10;

д) 100.

Чтобы представить натуральное число $N$ в виде дроби с заданным знаменателем $D$, необходимо найти такой числитель $C$, чтобы выполнялось равенство $\frac{C}{D} = N$. Для этого нужно умножить число $N$ на знаменатель $D$ и записать результат в числитель. Таким образом, искомая дробь имеет вид $\frac{N \times D}{D}$.

Представим числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 1:
$1 = \frac{1 \times 1}{1} = \frac{1}{1}$
$2 = \frac{2 \times 1}{1} = \frac{2}{1}$
$5 = \frac{5 \times 1}{1} = \frac{5}{1}$
Ответ: $1 = \frac{1}{1}$; $2 = \frac{2}{1}$; $5 = \frac{5}{1}$.

Представим числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 2:
$1 = \frac{1 \times 2}{2} = \frac{2}{2}$
$2 = \frac{2 \times 2}{2} = \frac{4}{2}$
$5 = \frac{5 \times 2}{2} = \frac{10}{2}$
Ответ: $1 = \frac{2}{2}$; $2 = \frac{4}{2}$; $5 = \frac{10}{2}$.

Представим числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 3:
$1 = \frac{1 \times 3}{3} = \frac{3}{3}$
$2 = \frac{2 \times 3}{3} = \frac{6}{3}$
$5 = \frac{5 \times 3}{3} = \frac{15}{3}$
Ответ: $1 = \frac{3}{3}$; $2 = \frac{6}{3}$; $5 = \frac{15}{3}$.

Представим числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 10:
$1 = \frac{1 \times 10}{10} = \frac{10}{10}$
$2 = \frac{2 \times 10}{10} = \frac{20}{10}$
$5 = \frac{5 \times 10}{10} = \frac{50}{10}$
Ответ: $1 = \frac{10}{10}$; $2 = \frac{20}{10}$; $5 = \frac{50}{10}$.

Представим числа 1, 2 и 5 в виде дроби со знаменателем 100:
$1 = \frac{1 \times 100}{100} = \frac{100}{100}$
$2 = \frac{2 \times 100}{100} = \frac{200}{100}$
$5 = \frac{5 \times 100}{100} = \frac{500}{100}$
Ответ: $1 = \frac{100}{100}$; $2 = \frac{200}{100}$; $5 = \frac{500}{100}$.

768. Замените букву x числом так, чтобы равенство стало верным:

а) $ \frac{18}{27} = \frac{x}{3} $;

б) $ \frac{5}{7} = \frac{60}{x} $;

в) $ \frac{x}{6} = \frac{20}{24} $;

г) $ \frac{49}{x} = \frac{7}{8} $.

а) Дано равенство $\frac{18}{27} = \frac{x}{3}$.
Чтобы найти $x$, можно использовать основное свойство пропорции, но проще заметить, что знаменатель дроби в правой части (3) получен делением знаменателя дроби в левой части (27) на 9, так как $27 \div 9 = 3$.
Для сохранения равенства необходимо выполнить то же действие и с числителем:
$x = 18 \div 9 = 2$.
Таким образом, $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
Ответ: 2

б) Дано равенство $\frac{5}{7} = \frac{60}{x}$.
Заметим, что числитель дроби в правой части (60) в 12 раз больше числителя дроби в левой части (5), так как $60 \div 5 = 12$.
Чтобы равенство было верным, знаменатель дроби в правой части ($x$) также должен быть в 12 раз больше знаменателя дроби в левой части (7).
$x = 7 \cdot 12 = 84$.
Таким образом, $\frac{5}{7} = \frac{60}{84}$.
Ответ: 84

в) Дано равенство $\frac{x}{6} = \frac{20}{24}$.
Сначала упростим (сократим) дробь в правой части равенства. Наибольший общий делитель для чисел 20 и 24 равен 4.
$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$.
Теперь исходное равенство можно переписать в виде:
$\frac{x}{6} = \frac{5}{6}$.
Так как знаменатели дробей равны, для верности равенства должны быть равны и их числители.
$x = 5$.
Ответ: 5

г) Дано равенство $\frac{49}{x} = \frac{7}{8}$.
Это пропорция. Для нахождения неизвестного члена пропорции $x$ можно воспользоваться правилом "крест-накрест": произведение крайних членов равно произведению средних.
$49 \cdot 8 = x \cdot 7$
$392 = 7x$
Теперь найдем $x$, разделив 392 на 7:
$x = \frac{392}{7}$
$x = 56$.
Таким образом, $\frac{49}{56} = \frac{7}{8}$.
Ответ: 56

769. а) Найдите дробь со знаменателем 18, равную дроби $\frac{2}{3}$.

б) Найдите дробь с числителем 7, равную дроби $\frac{1}{9}$.

в) Можно ли найти дробь, числитель которой натуральное число, а знаменатель 121, равную дроби $\frac{5}{11}$?

г) Можно ли найти дробь, знаменатель которой натуральное число, а числитель 144, равную дроби $\frac{35}{48}$?

а)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{18}$. По условию, она равна дроби $\frac{2}{3}$. Составим равенство:

$\frac{x}{18} = \frac{2}{3}$

Чтобы найти числитель $x$, нужно привести дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 18. Для этого нужно умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число. Найдем это число, разделив новый знаменатель на старый: $18 \div 3 = 6$. Теперь умножим числитель дроби $\frac{2}{3}$ на 6:

$x = 2 \cdot 6 = 12$

Таким образом, искомая дробь — это $\frac{12}{18}$.

Ответ: $\frac{12}{18}$.

б)

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{7}{y}$. По условию, она равна дроби $\frac{1}{9}$. Составим равенство:

$\frac{7}{y} = \frac{1}{9}$

Чтобы найти знаменатель $y$, нужно привести дробь $\frac{1}{9}$ к числителю 7. Для этого нужно умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число. Найдем это число, разделив новый числитель на старый: $7 \div 1 = 7$. Теперь умножим знаменатель дроби $\frac{1}{9}$ на 7:

$y = 9 \cdot 7 = 63$

Таким образом, искомая дробь — это $\frac{7}{63}$.

Ответ: $\frac{7}{63}$.

в)

Нужно определить, существует ли натуральное число $x$ такое, что дробь $\frac{x}{121}$ равна дроби $\frac{5}{11}$. Составим равенство:

$\frac{x}{121} = \frac{5}{11}$

Найдем $x$ из этого равенства. Приведем дробь $\frac{5}{11}$ к знаменателю 121. Для этого найдем множитель: $121 \div 11 = 11$. Умножим числитель 5 на этот множитель:

$x = 5 \cdot 11 = 55$

Число 55 является натуральным числом. Следовательно, такая дробь существует, и это дробь $\frac{55}{121}$.

Ответ: можно.

г)

Нужно определить, существует ли натуральное число $y$ такое, что дробь $\frac{144}{y}$ равна дроби $\frac{35}{48}$. Составим равенство:

$\frac{144}{y} = \frac{35}{48}$

Из этого равенства, используя основное свойство пропорции, можно выразить $y$:

$144 \cdot 48 = 35 \cdot y$

$y = \frac{144 \cdot 48}{35}$

Чтобы $y$ был натуральным числом, произведение $144 \cdot 48$ должно делиться на 35 нацело. Разложим знаменатель 35 на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$.

Проверим, делится ли числитель $144 \cdot 48$ на 5. Число 144 не делится на 5, и число 48 не делится на 5. Следовательно, их произведение также не делится на 5. Поскольку числитель не делится на 5, он не может делиться и на 35. Значит, $y$ не является натуральным числом.

Другой способ рассуждения: дробь $\frac{35}{48}$ является несократимой. Любая равная ей дробь должна получаться из нее умножением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число $k$. То есть числитель равной дроби должен быть кратен 35. Проверим, делится ли 144 на 35: $144 \div 35 = 4$ (остаток 4). Так как 144 не делится на 35 нацело, то невозможно найти такую дробь.

Ответ: нельзя.

770. Сократите дробь:

а) $\frac{75}{100}$;б) $\frac{42}{63}$;в) $\frac{56}{60}$;г) $\frac{81}{420}$;д) $\frac{72}{24}$;

е) $\frac{75}{25}$;ж) $\frac{35}{42}$;з) $\frac{36}{32}$;и) $\frac{42}{49}$;к) $\frac{32}{60}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{75}{100}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя (75) и знаменателя (100). Оба числа оканчиваются на 5 или 0, значит, они делятся на 5. Также можно заметить, что оба числа делятся на 25, что является их НОД.
Разделим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Для сокращения дроби $\frac{42}{63}$ найдем НОД чисел 42 и 63. Оба числа делятся на 7, а также на 3. Их НОД равен $3 \times 7 = 21$.
Разделим числитель и знаменатель на 21:
$\frac{42}{63} = \frac{42 \div 21}{63 \div 21} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{60}$, найдем НОД для 56 и 60. Оба числа четные, значит, делятся на 2. Последовательно разделив на 2, получим $\frac{28}{30}$, и еще раз на 2, получим $\frac{14}{15}$. Значит, НОД равен 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{56}{60} = \frac{56 \div 4}{60 \div 4} = \frac{14}{15}$.
Ответ: $\frac{14}{15}$

г) Для сокращения дроби $\frac{81}{420}$ найдем их НОД. Сумма цифр числа 81 ($8+1=9$) делится на 3. Сумма цифр числа 420 ($4+2+0=6$) также делится на 3. Значит, оба числа делятся на 3.
Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{81}{420} = \frac{81 \div 3}{420 \div 3} = \frac{27}{140}$.
Числа 27 и 140 больше не имеют общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{27}{140}$

д) Дробь $\frac{72}{24}$ является неправильной. Чтобы ее сократить, нужно разделить числитель 72 на знаменатель 24.
$72 \div 24 = 3$.
Таким образом, дробь равна целому числу.
Ответ: $3$

е) Дробь $\frac{75}{25}$ является неправильной. Чтобы ее сократить, разделим числитель 75 на знаменатель 25.
$75 \div 25 = 3$.
Дробь равна целому числу.
Ответ: $3$

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{35}{42}$, найдем НОД для 35 и 42. Оба числа делятся на 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{35}{42} = \frac{35 \div 7}{42 \div 7} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

з) Для сокращения неправильной дроби $\frac{36}{32}$ найдем НОД для 36 и 32. Оба числа делятся на 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{36}{32} = \frac{36 \div 4}{32 \div 4} = \frac{9}{8}$.
Ответ: $\frac{9}{8}$

и) Чтобы сократить дробь $\frac{42}{49}$, найдем НОД для 42 и 49. Оба числа делятся на 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{42}{49} = \frac{42 \div 7}{49 \div 7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$

к) Для сокращения дроби $\frac{32}{60}$ найдем НОД для 32 и 60. Оба числа делятся на 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{32}{60} = \frac{32 \div 4}{60 \div 4} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$

771. Найдите несократимую дробь, равную дроби:

а) $\frac{25}{100}$; б) $\frac{48}{56}$; в) $\frac{75}{125}$; г) $\frac{108}{144}$; д) $\frac{600}{720}$;

е) $\frac{100}{1000}$; ж) $\frac{350}{1000}$; з) $\frac{250}{1000}$; и) $\frac{320}{6400}$; к) $\frac{800}{1000}$.

Чтобы найти несократимую дробь, равную данной, нужно сократить данную дробь. Сокращение дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1. Для получения несократимой дроби нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

а) $\frac{25}{100}$

Наибольший общий делитель для чисел 25 и 100 равен 25, так как 100 делится на 25 без остатка ($100 = 4 \cdot 25$). Сократим дробь на 25:

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) $\frac{48}{56}$

Найдем НОД для 48 и 56. Разложим числа на простые множители:
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
НОД(48, 56) = $2^3 = 8$. Сократим дробь на 8:

$\frac{48}{56} = \frac{48 \div 8}{56 \div 8} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

в) $\frac{75}{125}$

Числа 75 и 125 оканчиваются на 5, поэтому они делятся на 5 и на 25.
$75 = 3 \cdot 25$
$125 = 5 \cdot 25$
НОД(75, 125) = 25. Сократим дробь на 25:

$\frac{75}{125} = \frac{75 \div 25}{125 \div 25} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

г) $\frac{108}{144}$

Найдем НОД для 108 и 144. Разложим числа на простые множители:
$108 = 2^2 \cdot 3^3$
$144 = 2^4 \cdot 3^2$
НОД(108, 144) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Сократим дробь на 36:

$\frac{108}{144} = \frac{108 \div 36}{144 \div 36} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

д) $\frac{600}{720}$

Сначала сократим дробь на 10:
$\frac{600}{720} = \frac{60}{72}$
Теперь найдем НОД для 60 и 72.
$60 = 12 \cdot 5$
$72 = 12 \cdot 6$
НОД(60, 72) = 12. Сократим дробь на 12:

$\frac{60}{72} = \frac{60 \div 12}{72 \div 12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

е) $\frac{100}{1000}$

Сократим дробь на 100, разделив числитель и знаменатель на 100:

$\frac{100}{1000} = \frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

ж) $\frac{350}{1000}$

Сначала сократим дробь на 10:
$\frac{350}{1000} = \frac{35}{100}$
Числитель 35 и знаменатель 100 делятся на 5. НОД(35, 100) = 5. Сократим дробь на 5:

$\frac{35}{100} = \frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$

Ответ: $\frac{7}{20}$

з) $\frac{250}{1000}$

Сначала сократим дробь на 10:
$\frac{250}{1000} = \frac{25}{100}$
НОД(25, 100) = 25. Сократим дробь на 25:

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

и) $\frac{320}{6400}$

Сначала сократим дробь на 10:
$\frac{320}{6400} = \frac{32}{640}$
Заметим, что $640 = 64 \cdot 10 = 2 \cdot 32 \cdot 10 = 20 \cdot 32$. Таким образом, НОД(32, 640) = 32. Сократим дробь на 32:

$\frac{32}{640} = \frac{32 \div 32}{640 \div 32} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$

к) $\frac{800}{1000}$

Сначала сократим дробь на 100:
$\frac{800}{1000} = \frac{8}{10}$
Числитель и знаменатель — четные числа. НОД(8, 10) = 2. Сократим дробь на 2:

$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$