Страница 173 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Определите, сократима ли дробь (772, 773):

772. a) $\frac{30}{40}$;

б) $\frac{15}{70}$;

в) $\frac{125}{335}$;

г) $\frac{124}{240}$;

д) $\frac{254}{628}$.

а) Рассмотрим дробь $ \frac{30}{40} $. Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Числитель 30 и знаменатель 40 оканчиваются на 0, следовательно, они оба делятся на 10. Так как существует общий делитель (10), дробь сократима. Выполним сокращение: $ \frac{30}{40} = \frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4} $.
Ответ: сократима.

б) Рассмотрим дробь $ \frac{15}{70} $. Числитель 15 оканчивается на 5, а знаменатель 70 оканчивается на 0. Согласно признакам делимости, оба числа делятся на 5. Так как у числителя и знаменателя есть общий делитель (5), дробь является сократимой. Выполним сокращение: $ \frac{15}{70} = \frac{15 \div 5}{70 \div 5} = \frac{3}{14} $.
Ответ: сократима.

в) Рассмотрим дробь $ \frac{125}{335} $. Числитель 125 и знаменатель 335 оканчиваются на 5, следовательно, они оба делятся на 5. Наличие общего делителя (5) означает, что дробь сократима. Выполним сокращение: $ \frac{125}{335} = \frac{125 \div 5}{335 \div 5} = \frac{25}{67} $.
Ответ: сократима.

г) Рассмотрим дробь $ \frac{124}{240} $. Числитель 124 и знаменатель 240 являются четными числами, поэтому они оба делятся как минимум на 2. Этого достаточно, чтобы утверждать, что дробь сократима. Наибольший общий делитель этих чисел равен 4. Выполним сокращение: $ \frac{124}{240} = \frac{124 \div 4}{240 \div 4} = \frac{31}{60} $.
Ответ: сократима.

д) Рассмотрим дробь $ \frac{254}{628} $. Числитель 254 и знаменатель 628 являются четными числами (оканчиваются на 4 и 8), поэтому они оба делятся на 2. Так как у чисел есть общий делитель (2), дробь является сократимой. Выполним сокращение: $ \frac{254}{628} = \frac{254 \div 2}{628 \div 2} = \frac{127}{314} $.
Ответ: сократима.

773. a) $ \frac{12}{27} $;

б) $ \frac{123}{402} $;

в) $ \frac{54}{801} $;

г) $ \frac{23}{29} $;

д) $ \frac{45}{46} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{12}{27}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 12 и знаменателя 27.
Разложим оба числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
Общим множителем является 3. Следовательно, НОД(12, 27) = 3.
Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на 3:
$\frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{123}{402}$, найдем НОД(123, 402).
Воспользуемся признаком делимости на 3. Сумма цифр числа 123 равна $1+2+3=6$. Так как 6 делится на 3, то и 123 делится на 3.
$123 = 3 \cdot 41$. Число 41 является простым.
Сумма цифр числа 402 равна $4+0+2=6$. Так как 6 делится на 3, то и 402 делится на 3.
$402 = 3 \cdot 134$.
Общий делитель - 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{123 \div 3}{402 \div 3} = \frac{41}{134}$.
Так как 41 - простое число, а 134 не делится на 41, то полученная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{41}{134}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{54}{801}$, найдем НОД(54, 801).
Сумма цифр числа 801 равна $8+0+1=9$. Так как 9 делится на 9, то и 801 делится на 9.
$801 = 9 \cdot 89$. Число 89 является простым.
Число 54 также делится на 9 ($54 = 9 \cdot 6$).
НОД(54, 801) = 9.
Разделим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{54 \div 9}{801 \div 9} = \frac{6}{89}$.
Дробь несократимая, так как 89 - простое число.
Ответ: $\frac{6}{89}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{23}{29}$.
Числитель 23 и знаменатель 29 являются простыми числами. Это означает, что они делятся только на 1 и на самих себя.
У них нет общих делителей, кроме 1.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{23}{29}$

д)

Рассмотрим дробь $\frac{45}{46}$.
Числа 45 и 46 являются последовательными натуральными числами.
Последовательные натуральные числа всегда взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1.
Проверим, разложив на множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$46 = 2 \cdot 23$
Общих простых множителей нет, значит НОД(45, 46) = 1.
Следовательно, данная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{45}{46}$

774. Укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, затем сократите дробь:

а) $ \frac{15}{35} $;

б) $ \frac{48}{64} $;

в) $ \frac{60}{80} $;

г) $ \frac{44}{66} $;

д) $ \frac{34}{51} $.

а) $\frac{15}{35}$

Чтобы найти общие делители, сначала выпишем все делители для числителя 15 и знаменателя 35.
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.
Общие делители — это числа, которые есть в обоих списках: 1, 5.
Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое из общих делителей.
НОД(15, 35) = 5.
Чтобы сократить дробь, нужно разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
$\frac{15}{35} = \frac{15 \div 5}{35 \div 5} = \frac{3}{7}$.
Ответ: общие делители: 1, 5; НОД = 5; сокращенная дробь: $\frac{3}{7}$.

б) $\frac{48}{64}$

Выпишем все делители для числителя 48 и знаменателя 64.
Делители числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Делители числа 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Общие делители чисел 48 и 64: 1, 2, 4, 8, 16.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(48, 64) = 16.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{48}{64} = \frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 4, 8, 16; НОД = 16; сокращенная дробь: $\frac{3}{4}$.

в) $\frac{60}{80}$

Выпишем все делители для числителя 60 и знаменателя 80.
Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Делители числа 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.
Общие делители чисел 60 и 80: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(60, 80) = 20.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{60}{80} = \frac{60 \div 20}{80 \div 20} = \frac{3}{4}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20; НОД = 20; сокращенная дробь: $\frac{3}{4}$.

г) $\frac{44}{66}$

Выпишем все делители для числителя 44 и знаменателя 66.
Делители числа 44: 1, 2, 4, 11, 22, 44.
Делители числа 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.
Общие делители чисел 44 и 66: 1, 2, 11, 22.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(44, 66) = 22.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{44}{66} = \frac{44 \div 22}{66 \div 22} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общие делители: 1, 2, 11, 22; НОД = 22; сокращенная дробь: $\frac{2}{3}$.

д) $\frac{34}{51}$

Выпишем все делители для числителя 34 и знаменателя 51.
Делители числа 34: 1, 2, 17, 34.
Делители числа 51: 1, 3, 17, 51.
Общие делители чисел 34 и 51: 1, 17.
Наибольший общий делитель (НОД):
НОД(34, 51) = 17.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{34}{51} = \frac{34 \div 17}{51 \div 17} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общие делители: 1, 17; НОД = 17; сокращенная дробь: $\frac{2}{3}$.

775. Сократите дробь:

а) $\frac{54}{72}$;

б) $\frac{56}{68}$;

в) $\frac{18}{64}$;

г) $\frac{81}{54}$;

д) $\frac{24}{36}$;

е) $\frac{56}{49}$;

ж) $\frac{50}{75}$;

з) $\frac{48}{64}$;

и) $\frac{56}{168}$;

к) $\frac{18}{54}$;

л) $\frac{49}{98}$;

м) $\frac{17}{51}$;

н) $\frac{16}{48}$;

о) $\frac{25}{125}$;

п) $\frac{15}{75}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{54}{72}$, нужно разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). НОД(54, 72) = 18. Выполним деление: $\frac{54}{72} = \frac{54 \div 18}{72 \div 18} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{68}$, найдем НОД(56, 68). Он равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{56}{68} = \frac{56 \div 4}{68 \div 4} = \frac{14}{17}$.
Ответ: $\frac{14}{17}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{18}{64}$, найдем НОД(18, 64). Он равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{18}{64} = \frac{18 \div 2}{64 \div 2} = \frac{9}{32}$.
Ответ: $\frac{9}{32}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{81}{54}$, найдем НОД(81, 54). Он равен 27. Разделим числитель и знаменатель на 27: $\frac{81}{54} = \frac{81 \div 27}{54 \div 27} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{24}{36}$, найдем НОД(24, 36). Он равен 12. Разделим числитель и знаменатель на 12: $\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{49}$, найдем НОД(56, 49). Он равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{56}{49} = \frac{56 \div 7}{49 \div 7} = \frac{8}{7}$.
Ответ: $\frac{8}{7}$.

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{50}{75}$, найдем НОД(50, 75). Он равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25: $\frac{50}{75} = \frac{50 \div 25}{75 \div 25} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

з) Чтобы сократить дробь $\frac{48}{64}$, найдем НОД(48, 64). Он равен 16. Разделим числитель и знаменатель на 16: $\frac{48}{64} = \frac{48 \div 16}{64 \div 16} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

и) Чтобы сократить дробь $\frac{56}{168}$, заметим, что знаменатель 168 делится на числитель 56 ($168 \div 56 = 3$). Значит, НОД(56, 168) = 56. Разделим числитель и знаменатель на 56: $\frac{56}{168} = \frac{56 \div 56}{168 \div 56} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

к) Чтобы сократить дробь $\frac{18}{54}$, заметим, что знаменатель 54 делится на числитель 18 ($54 \div 18 = 3$). Значит, НОД(18, 54) = 18. Разделим числитель и знаменатель на 18: $\frac{18}{54} = \frac{18 \div 18}{54 \div 18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

л) Чтобы сократить дробь $\frac{49}{98}$, заметим, что знаменатель 98 делится на числитель 49 ($98 \div 49 = 2$). Значит, НОД(49, 98) = 49. Разделим числитель и знаменатель на 49: $\frac{49}{98} = \frac{49 \div 49}{98 \div 49} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

м) Чтобы сократить дробь $\frac{17}{51}$, заметим, что числитель 17 — простое число. Проверим, делится ли 51 на 17: $51 \div 17 = 3$. Значит, НОД(17, 51) = 17. Разделим числитель и знаменатель на 17: $\frac{17}{51} = \frac{17 \div 17}{51 \div 17} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

н) Чтобы сократить дробь $\frac{16}{48}$, заметим, что знаменатель 48 делится на числитель 16 ($48 \div 16 = 3$). Значит, НОД(16, 48) = 16. Разделим числитель и знаменатель на 16: $\frac{16}{48} = \frac{16 \div 16}{48 \div 16} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

о) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{125}$, заметим, что знаменатель 125 делится на числитель 25 ($125 \div 25 = 5$). Значит, НОД(25, 125) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25: $\frac{25}{125} = \frac{25 \div 25}{125 \div 25} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

п) Чтобы сократить дробь $\frac{15}{75}$, заметим, что знаменатель 75 делится на числитель 15 ($75 \div 15 = 5$). Значит, НОД(15, 75) = 15. Разделим числитель и знаменатель на 15: $\frac{15}{75} = \frac{15 \div 15}{75 \div 15} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.