Страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

777. a) На ветке сидели 12 птиц; $\frac{2}{3}$ из них улетели. Сколько птиц улетело?

б) В классе 32 учащихся; $\frac{3}{4}$ из них катались на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах?

а) Чтобы найти, сколько птиц улетело, нужно найти дробь $\frac{2}{3}$ от общего числа птиц, которое равно 12. Для этого необходимо умножить общее число птиц на эту дробь:

$12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (птиц).

Ответ: 8 птиц.

б) Чтобы определить, сколько учащихся каталось на лыжах, нужно найти $\frac{3}{4}$ от общего числа учащихся в классе, которое составляет 32. Для этого умножим общее число учащихся на соответствующую дробь:

$32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4} = \frac{96}{4} = 24$ (учащихся).

Ответ: 24 учащихся.

778. а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день они проехали $ \frac{2}{3} $ всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?

б) Некто, имея 35 р., потратил $ \frac{5}{7} $ своих денег. Сколько денег у него осталось?

в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала $ \frac{5}{8} $ всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?

а) Для того чтобы найти, сколько километров велосипедисты проехали во второй день, нужно сначала вычислить расстояние, которое они проехали в первый день. В первый день они проехали $\frac{2}{3}$ от всего пути в 48 км.
1) Найдем расстояние, пройденное в первый день:
$48 \cdot \frac{2}{3} = \frac{48 \cdot 2}{3} = 16 \cdot 2 = 32$ км.
2) Теперь вычтем из общего расстояния расстояние, пройденное в первый день, чтобы найти, сколько они проехали во второй день:
$48 - 32 = 16$ км.
Альтернативный способ: найти, какая часть пути осталась на второй день. Если в первый день проехали $\frac{2}{3}$, то на второй день осталось:
$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ пути.
Теперь найдем $\frac{1}{3}$ от 48 км:
$48 \cdot \frac{1}{3} = 16$ км.
Ответ: 16 км.

б) Чтобы найти, сколько денег осталось, сначала нужно определить, сколько денег было потрачено. Было потрачено $\frac{5}{7}$ от 35 рублей.
1) Найдем потраченную сумму:
$35 \cdot \frac{5}{7} = \frac{35 \cdot 5}{7} = 5 \cdot 5 = 25$ р.
2) Теперь вычтем потраченную сумму из начальной, чтобы найти остаток:
$35 - 25 = 10$ р.
Альтернативный способ: найти, какая часть денег осталась. Если потратили $\frac{5}{7}$, то осталось:
$1 - \frac{5}{7} = \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ от всей суммы.
Теперь найдем $\frac{2}{7}$ от 35 рублей:
$35 \cdot \frac{2}{7} = \frac{35 \cdot 2}{7} = 5 \cdot 2 = 10$ р.
Ответ: 10 р.

в) Чтобы узнать, сколько осталось неисписанных страниц, сначала вычислим, сколько страниц девочка исписала. Она исписала $\frac{5}{8}$ от 24 страниц.
1) Найдем количество исписанных страниц:
$24 \cdot \frac{5}{8} = \frac{24 \cdot 5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ страниц.
2) Теперь вычтем количество исписанных страниц из общего числа страниц в тетради, чтобы найти количество неисписанных:
$24 - 15 = 9$ страниц.
Альтернативный способ: найти, какая часть страниц осталась неисписанной. Если исписано $\frac{5}{8}$, то осталось:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ всех страниц.
Теперь найдем $\frac{3}{8}$ от 24 страниц:
$24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ страниц.
Ответ: 9 страниц.

779. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали $\frac{2}{5}$, а во второй день $\frac{3}{8}$ всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

1. Сначала найдем расстояние, которое автотуристы проехали в первый день. Для этого умножим весь путь (360 км) на соответствующую долю ($\frac{2}{5}$):

$360 \cdot \frac{2}{5} = \frac{360 \cdot 2}{5} = 72 \cdot 2 = 144$ (км) — проехали в первый день.

2. Затем найдем расстояние, пройденное во второй день (доля $\frac{3}{8}$):

$360 \cdot \frac{3}{8} = \frac{360 \cdot 3}{8} = 45 \cdot 3 = 135$ (км) — проехали во второй день.

3. Теперь сложим расстояния за первые два дня, чтобы узнать, сколько всего они проехали:

$144 + 135 = 279$ (км) — проехали за два дня.

4. Чтобы найти расстояние за третий день, нужно вычесть из общего пути расстояние, пройденное за первые два дня:

$360 - 279 = 81$ (км).

Ответ: в третий день автотуристы проехали 81 км.

Способ 2

1. Сначала найдем, какую часть всего пути автотуристы проехали за первые два дня. Для этого сложим доли пути:

$\frac{2}{5} + \frac{3}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 40:

$\frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{16}{40} + \frac{15}{40} = \frac{31}{40}$ — часть пути, пройденная за два дня.

2. Весь путь примем за единицу (1). Найдем, какая часть пути осталась на третий день:

$1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40}$ — часть пути, которую осталось проехать в третий день.

3. Теперь найдем, сколько километров составляет эта часть от всего пути:

$360 \cdot \frac{9}{40} = \frac{360 \cdot 9}{40} = 9 \cdot 9 = 81$ (км).

Ответ: в третий день автотуристы проехали 81 км.

780. а) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет $ \frac{3}{8} $ числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?

б) В коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Число трёх- и пятирублёвых монет составляет $ \frac{2}{9} $ числа рублёвых монет. Сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции?

а)

1. Для начала найдем количество мальчиков, которые занимаются в драмкружке. По условию задачи, их число составляет $ \frac{3}{8} $ от числа девочек, а девочек — 24. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту часть (дробь):
$ 24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9 $ (мальчиков).

2. Теперь, чтобы узнать, сколько всего учащихся занимается в драмкружке, сложим количество девочек и количество мальчиков:
$ 24 + 9 = 33 $ (учащихся).

Ответ: всего в драмкружке занимается 33 учащихся.

б)

1. В условии сказано, что в коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Далее уточняется, что число трёх- и пятирублёвых монет составляет часть от числа рублёвых. Это означает, что 45 — это количество именно однорублёвых монет. Найдём количество трёх- и пятирублёвых монет, которое составляет $ \frac{2}{9} $ от числа однорублёвых:
$ 45 \cdot \frac{2}{9} = \frac{45 \cdot 2}{9} = 5 \cdot 2 = 10 $ (трёх- и пятирублёвых монет).

2. Чтобы найти общее количество монет в коллекции, нужно сложить количество однорублёвых монет с количеством трёх- и пятирублёвых монет:
$ 45 + 10 = 55 $ (монет).

Ответ: всего в коллекции 55 юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей.

781. а) 12 р. составляют $\frac{3}{4}$ имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

б) Определите длину отрезка, $\frac{3}{5}$ которого равны 15 см.

а)

В задаче указано, что 12 рублей составляют $ \frac{3}{4} $ от всей имеющейся суммы. Чтобы найти всю сумму (целое), зная ее часть (12 р.) и долю, которую эта часть составляет ($ \frac{3}{4} $), необходимо разделить известную часть на эту долю.

Выполним вычисление:

$ 12 \div \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $ (р.)

Таким образом, вся сумма денег составляет 16 рублей.

Ответ: 16 р.

б)

По условию, $ \frac{3}{5} $ длины отрезка равны 15 см. Эта задача решается аналогично предыдущей: чтобы найти всю длину отрезка (целое), нужно известную часть длины (15 см) разделить на долю, которую она составляет ($ \frac{3}{5} $).

Выполним вычисление:

$ 15 \div \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25 $ (см)

Следовательно, длина всего отрезка равна 25 см.

Ответ: 25 см.

782. а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет $\frac{2}{7}$ возраста отца. Сколько лет отцу?

б) Дочери 12 лет. Её возраст составляет $\frac{2}{5}$ возраста матери. Сколько лет матери?

а)

По условию, возраст сына составляет 10 лет, и это равно $\frac{2}{7}$ возраста отца. Чтобы найти возраст отца (целое число), зная его часть (10 лет), нужно эту часть разделить на соответствующую ей дробь.

Это можно сделать в два действия:

1. Найдем, сколько лет составляет одна седьмая ($\frac{1}{7}$) часть возраста отца. Если две седьмые части — это 10 лет, то одна часть будет:

$10 \div 2 = 5$ лет.

2. Теперь найдем полный возраст отца, который составляет семь седьмых ($\frac{7}{7}$). Для этого умножим одну часть на 7:

$5 \cdot 7 = 35$ лет.

Или можно решить одним действием, разделив возраст сына на дробь:

$10 \div \frac{2}{7} = 10 \cdot \frac{7}{2} = \frac{70}{2} = 35$ лет.

Ответ: отцу 35 лет.

б)

По условию, возраст дочери составляет 12 лет, и это равно $\frac{2}{5}$ возраста матери. Аналогично предыдущей задаче, найдем возраст матери, разделив известный возраст дочери на соответствующую ему дробь.

Решение в два действия:

1. Найдем, сколько лет составляет одна пятая ($\frac{1}{5}$) часть возраста матери. Если две пятые части — это 12 лет, то одна часть будет:

$12 \div 2 = 6$ лет.

2. Теперь найдем полный возраст матери, который составляет пять пятых ($\frac{5}{5}$). Для этого умножим одну часть на 5:

$6 \cdot 5 = 30$ лет.

Решение одним действием:

$12 \div \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{60}{2} = 30$ лет.

Ответ: матери 30 лет.