Страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

792. а) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю?

б) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби?

а) Да, любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем для двух или более дробей является любое число, которое делится без остатка на знаменатель каждой из этих дробей, то есть их общее кратное.
Чтобы найти общий знаменатель для двух дробей, например, $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно просто перемножить их знаменатели: $b \times d$. Этот результат всегда будет общим кратным для $b$ и $d$.
После нахождения общего знаменателя, числитель и знаменатель каждой дроби умножают на дополнительный множитель. Для дроби $\frac{a}{b}$ дополнительный множитель будет $d$, а для дроби $\frac{c}{d}$ — $b$. В результате получим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{a \times d}{b \times d}$ и $\frac{c \times b}{d \times b}$.
Поскольку этот метод применим к любым двум дробям, можно утверждать, что любые две дроби можно привести к общему знаменателю.
Ответ: Да, любые две дроби можно привести к общему знаменателю.

б) Хотя в качестве общего знаменателя можно использовать любое общее кратное (например, произведение знаменателей), лучше всего приводить две дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
Наименьший общий знаменатель — это наименьшее из всех возможных общих кратных знаменателей данных дробей. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.
Использование наименьшего общего знаменателя имеет ряд преимуществ:

• Он упрощает вычисления (сложение, вычитание, сравнение дробей), так как приходится работать с меньшими числами.
• Результат вычислений часто получается в виде несократимой дроби, либо ее проще сократить.

Например, для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{8}$ знаменатели равны 6 и 8. Можно привести их к общему знаменателю $6 \times 8 = 48$. Однако, НОК(6, 8) = 24. Работать со знаменателем 24 удобнее, чем с 48.
Ответ: Две дроби лучше всего приводить к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), который равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

793. a) Сколько четвёртых содержится в $\frac{1}{2}$?

б) Сколько двадцатых содержится в $\frac{1}{2}$?

в) Сколько тридцатых содержится в $\frac{1}{3}$?

а) Чтобы найти, сколько четвёртых долей (то есть долей, равных $\frac{1}{4}$) содержится в $\frac{1}{2}$, необходимо выполнить деление:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Другой способ — привести дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$.

Это означает, что в $\frac{1}{2}$ содержится две доли по $\frac{1}{4}$.

Ответ: 2.

б) Чтобы найти, сколько двадцатых долей ($\frac{1}{20}$) содержится в $\frac{1}{2}$, выполним деление:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{20} = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{1} = \frac{1 \cdot 20}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Также можно привести дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 20:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20}$.

Это означает, что в $\frac{1}{2}$ содержится десять долей по $\frac{1}{20}$.

Ответ: 10.

в) Чтобы найти, сколько тридцатых долей ($\frac{1}{30}$) содержится в $\frac{1}{3}$, выполним деление:

$\frac{1}{3} : \frac{1}{30} = \frac{1}{3} \cdot \frac{30}{1} = \frac{1 \cdot 30}{3 \cdot 1} = \frac{30}{3} = 10$.

Также можно привести дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 30:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$.

Это означает, что в $\frac{1}{3}$ содержится десять долей по $\frac{1}{30}$.

Ответ: 10.

794. Для дроби $\frac{2}{3}$ запишите равную ей дробь со знаменателем:

а) 30;

б) 12;

в) 24;

г) 102.

Чтобы найти дробь, равную дроби $\frac{2}{3}$, но с другим знаменателем, нужно использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Это число называется дополнительным множителем. Чтобы его найти, нужно новый знаменатель разделить на старый.

а) 30;
Найдем дополнительный множитель для знаменателя 30. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:$30 \div 3 = 10$.
Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби $\frac{2}{3}$ на дополнительный множитель 10:$\frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{20}{30}$.
Ответ: $\frac{20}{30}$

б) 12;
Найдем дополнительный множитель для знаменателя 12:$12 \div 3 = 4$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 4:$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$.
Ответ: $\frac{8}{12}$

в) 24;
Найдем дополнительный множитель для знаменателя 24:$24 \div 3 = 8$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 8:$\frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$.
Ответ: $\frac{16}{24}$

г) 102.
Найдем дополнительный множитель для знаменателя 102:$102 \div 3 = 34$.
Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 34:$\frac{2 \times 34}{3 \times 34} = \frac{68}{102}$.
Ответ: $\frac{68}{102}$

795. Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12:

а) $\frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{3}$;

в) $\frac{2}{3}$;

г) $\frac{3}{4}$;

д) $\frac{5}{6}$;

е) $\frac{3}{2}$.

Чтобы заменить дробь на равную ей дробь с новым знаменателем, необходимо найти дополнительный множитель. Этот множитель равен частному от деления нового знаменателя на старый. Затем нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель.

а) Для дроби $ \frac{1}{2} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 2 = 6 $. Умножаем числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} $.
Ответ: $ \frac{6}{12} $.

б) Для дроби $ \frac{1}{3} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 3 = 4 $. Умножаем числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $.
Ответ: $ \frac{4}{12} $.

в) Для дроби $ \frac{2}{3} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 3 = 4 $. Умножаем числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $.
Ответ: $ \frac{8}{12} $.

г) Для дроби $ \frac{3}{4} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 4 = 3 $. Умножаем числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $.
Ответ: $ \frac{9}{12} $.

д) Для дроби $ \frac{5}{6} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 6 = 2 $. Умножаем числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $.
Ответ: $ \frac{10}{12} $.

е) Для дроби $ \frac{3}{2} $ приводим к знаменателю 12. Находим дополнительный множитель: $ 12 \div 2 = 6 $. Умножаем числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} $.
Ответ: $ \frac{18}{12} $.

796. Дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{7}{12}$ приведите к знаменателю 24.

Чтобы привести дроби к знаменателю 24, для каждой из них нужно найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель (24) делится на знаменатель исходной дроби. Затем и числитель, и знаменатель исходной дроби умножаются на полученный дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{1}{2}$

1. Находим дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $24 \div 2 = 12$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 12:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

Ответ: $\frac{12}{24}$

Для дроби $\frac{3}{4}$

1. Находим дополнительный множитель: $24 \div 4 = 6$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 6:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}$

Ответ: $\frac{18}{24}$

Для дроби $\frac{5}{8}$

1. Находим дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Ответ: $\frac{15}{24}$

Для дроби $\frac{7}{12}$

1. Находим дополнительный множитель: $24 \div 12 = 2$.

2. Умножаем числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 2:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$

Ответ: $\frac{14}{24}$