Страница 185 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

820. а) Как складывают дроби с общим знаменателем?

б) Как складывают дроби с разными знаменателями?

а) Как складывают дроби с общим знаменателем?

Чтобы сложить дроби с одинаковыми (общими) знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Это правило можно записать в виде формулы:
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
Например, сложим дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{4}{10}$:
$\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3+4}{10} = \frac{7}{10}$

Ответ: Для сложения дробей с общим знаменателем складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним.

б) Как складывают дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Для этого нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти наименьший общий знаменатель для данных дробей. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого общий знаменатель делят на знаменатель каждой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями: сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Рассмотрим на примере, как сложить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$.
1. Находим наименьший общий знаменатель. Знаменатели 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.
2. Находим дополнительные множители. Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель: $12 \div 3 = 4$. Для дроби $\frac{1}{4}$ дополнительный множитель: $12 \div 4 = 3$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
4. Складываем полученные дроби:
$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$

Ответ: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем сложить как дроби с одинаковыми знаменателями.

821. С помощью рисунка 163 объясните, почему $ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} $.

Рис. 163

Чтобы объяснить равенство $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$ с помощью рисунка 163, рассмотрим каждую из трех его частей.

Объяснение с помощью круга

Круг разделен на 8 равных секторов, поэтому каждый сектор представляет собой $\frac{1}{8}$ круга. На рисунке один сектор закрашен оранжевым цветом ($\frac{1}{8}$), а три сектора — синим цветом ($\frac{3}{8}$). Если мы сложим эти части, то получим $1 + 3 = 4$ закрашенных сектора. Четыре сектора из восьми составляют ровно половину круга. Таким образом, $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8}$, что визуально равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: Сумма $\frac{1}{8} + \frac{3}{8}$ на круге соответствует 4 секторам из 8, что составляет половину круга, то есть $\frac{1}{2}$.

Объяснение с помощью прямоугольника

Прямоугольник разделен на 8 равных квадратов. Каждый квадрат — это $\frac{1}{8}$ всего прямоугольника. Один квадрат закрашен синим цветом ($\frac{1}{8}$), а три квадрата — оранжевым ($\frac{3}{8}$). Вместе они составляют $1 + 3 = 4$ квадрата. Четыре квадрата из восьми занимают ровно половину площади прямоугольника. Это показывает, что сумма дробей $\frac{1}{8} + \frac{3}{8}$ равна $\frac{4}{8}$, что эквивалентно $\frac{1}{2}$.

Ответ: Сумма $\frac{1}{8} + \frac{3}{8}$ на прямоугольнике соответствует 4 квадратам из 8, что составляет половину прямоугольника, то есть $\frac{1}{2}$.

Объяснение с помощью числового отрезка

Числовой отрезок разделен на 8 равных частей. Длина каждой части равна $\frac{1}{8}$ отрезка. Первый отрезок синего цвета имеет длину $\frac{1}{8}$. Следующие три отрезка оранжевого цвета вместе имеют длину $\frac{3}{8}$. Если сложить их длины, мы покроем расстояние, равное 4 частям из 8. Конечная точка этого объединенного отрезка находится точно посередине всего отрезка. Середина отрезка соответствует значению $\frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Сумма длин $\frac{1}{8} + \frac{3}{8}$ на числовом отрезке равна $\frac{4}{8}$ общей длины, что соответствует середине отрезка, то есть значению $\frac{1}{2}$.