Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

813. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две дроби с равными числителями. Обозначим их как $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$. Предполагается, что числитель $a$ и знаменатели $b$ и $c$ являются натуральными числами.

Нам нужно доказать, что если знаменатель одной дроби меньше знаменателя другой, то эта дробь больше. То есть, если $b < c$, то мы должны показать, что $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$.

Чтобы сравнить две дроби, наиболее удобный способ — привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$ будет их произведение $b \cdot c$.

1. Приведем дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $bc$. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на $c$:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{ac}{bc}$

2. Приведем дробь $\frac{a}{c}$ к знаменателю $bc$. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на $b$:
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot b}{c \cdot b} = \frac{ab}{bc}$

Теперь мы имеем две дроби, $\frac{ac}{bc}$ и $\frac{ab}{bc}$, с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Поэтому нам нужно сравнить числители $ac$ и $ab$.

По условию задачи, мы предположили, что $b < c$. Поскольку $a$ — это натуральное число, то есть $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства $b < c$ на $a$. Знак неравенства при этом не изменится:$a \cdot b < a \cdot c$, или $ab < ac$.

Так как $ac > ab$, то и дробь с числителем $ac$ будет больше дроби с числителем $ab$:$\frac{ac}{bc} > \frac{ab}{bc}$

Поскольку $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ и $\frac{ab}{bc} = \frac{a}{c}$, мы можем заключить, что:$\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$

Это доказывает, что из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Ответ: Утверждение доказано.

814. Сравните дроби с числом 1, а затем между собой:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{5}$;

б) $\frac{6}{7}$ и $\frac{7}{6}$;

в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$;

г) $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{3}$;

д) $\frac{17}{13}$ и $\frac{7}{8}$;

е) $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}$;

ж) $\frac{78}{77}$ и $\frac{77}{78}$;

з) $\frac{89}{90}$ и $\frac{90}{89}$.

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{5}$

Сначала сравним каждую дробь с числом 1.
Дробь $\frac{1}{2}$ является правильной, так как числитель 1 меньше знаменателя 2. Следовательно, $\frac{1}{2} < 1$.
Дробь $\frac{6}{5}$ является неправильной, так как числитель 6 больше знаменателя 5. Следовательно, $\frac{6}{5} > 1$.

Теперь сравним дроби между собой.
Так как $\frac{1}{2} < 1$ и $\frac{6}{5} > 1$, то очевидно, что $\frac{1}{2} < \frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{2} < 1$; $\frac{6}{5} > 1$; $\frac{1}{2} < \frac{6}{5}$.

б) $\frac{6}{7}$ и $\frac{7}{6}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{6}{7}$ — правильная (числитель 6 < знаменателя 7), поэтому $\frac{6}{7} < 1$.
Дробь $\frac{7}{6}$ — неправильная (числитель 7 > знаменателя 6), поэтому $\frac{7}{6} > 1$.

Сравним дроби между собой.
Поскольку одна дробь меньше единицы, а другая больше единицы, то $\frac{6}{7} < \frac{7}{6}$.

Ответ: $\frac{6}{7} < 1$; $\frac{7}{6} > 1$; $\frac{6}{7} < \frac{7}{6}$.

в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{2}{5}$ — правильная ($2 < 5$), значит $\frac{2}{5} < 1$.
Дробь $\frac{5}{2}$ — неправильная ($5 > 2$), значит $\frac{5}{2} > 1$.

Сравним дроби между собой.
Так как $\frac{2}{5} < 1$ и $\frac{5}{2} > 1$, то $\frac{2}{5} < \frac{5}{2}$.

Ответ: $\frac{2}{5} < 1$; $\frac{5}{2} > 1$; $\frac{2}{5} < \frac{5}{2}$.

г) $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{3}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{3}{5}$ — правильная ($3 < 5$), поэтому $\frac{3}{5} < 1$.
Дробь $\frac{7}{3}$ — неправильная ($7 > 3$), поэтому $\frac{7}{3} > 1$.

Сравним дроби между собой.
Из сравнения с единицей следует, что $\frac{3}{5} < \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{5} < 1$; $\frac{7}{3} > 1$; $\frac{3}{5} < \frac{7}{3}$.

д) $\frac{17}{13}$ и $\frac{7}{8}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{17}{13}$ — неправильная ($17 > 13$), значит $\frac{17}{13} > 1$.
Дробь $\frac{7}{8}$ — правильная ($7 < 8$), значит $\frac{7}{8} < 1$.

Сравним дроби между собой.
Так как $\frac{7}{8} < 1$ и $\frac{17}{13} > 1$, то $\frac{7}{8} < \frac{17}{13}$.

Ответ: $\frac{17}{13} > 1$; $\frac{7}{8} < 1$; $\frac{7}{8} < \frac{17}{13}$.

е) $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{8}{7}$ — неправильная ($8 > 7$), поэтому $\frac{8}{7} > 1$.
Дробь $\frac{8}{9}$ — правильная ($8 < 9$), поэтому $\frac{8}{9} < 1$.

Сравним дроби между собой.
Из сравнения с единицей следует, что $\frac{8}{9} < \frac{8}{7}$. (Также можно заметить, что у дробей одинаковые числители, а значит, больше та дробь, у которой знаменатель меньше).

Ответ: $\frac{8}{7} > 1$; $\frac{8}{9} < 1$; $\frac{8}{9} < \frac{8}{7}$.

ж) $\frac{78}{77}$ и $\frac{77}{78}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{78}{77}$ — неправильная ($78 > 77$), поэтому $\frac{78}{77} > 1$.
Дробь $\frac{77}{78}$ — правильная ($77 < 78$), поэтому $\frac{77}{78} < 1$.

Сравним дроби между собой.
Так как одна дробь больше единицы, а другая меньше, то $\frac{77}{78} < \frac{78}{77}$.

Ответ: $\frac{78}{77} > 1$; $\frac{77}{78} < 1$; $\frac{77}{78} < \frac{78}{77}$.

з) $\frac{89}{90}$ и $\frac{90}{89}$

Сравним с числом 1.
Дробь $\frac{89}{90}$ — правильная ($89 < 90$), значит $\frac{89}{90} < 1$.
Дробь $\frac{90}{89}$ — неправильная ($90 > 89$), значит $\frac{90}{89} > 1$.

Сравним дроби между собой.
Из сравнения с единицей следует, что $\frac{89}{90} < \frac{90}{89}$.

Ответ: $\frac{89}{90} < 1$; $\frac{90}{89} > 1$; $\frac{89}{90} < \frac{90}{89}$.

815. Сравните дроби с числом $ \frac{1}{2} $, а затем между собой:

а) $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{5}{6} $;

в) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{5}{8} $;

г) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{7} $;

д) $ \frac{7}{13} $ и $ \frac{8}{17} $;

е) $ \frac{8}{17} $ и $ \frac{10}{19} $.

а) Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{1}{3}$: удвоенный числитель $2 \cdot 1 = 2$, а знаменатель равен $3$. Так как $2 < 3$, то $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{3}{4}$: удвоенный числитель $2 \cdot 3 = 6$, а знаменатель равен $4$. Так как $6 > 4$, то $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Поскольку $\frac{1}{3}$ меньше половины, а $\frac{3}{4}$ больше половины, то $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.

б) Сравним дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{6}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{1}{4}$: удвоенный числитель $2 \cdot 1 = 2$, а знаменатель равен $4$. Так как $2 < 4$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{5}{6}$: удвоенный числитель $2 \cdot 5 = 10$, а знаменатель равен $6$. Так как $10 > 6$, то $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ и $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{4} < \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} < \frac{5}{6}$.

в) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{8}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{2}{5}$: удвоенный числитель $2 \cdot 2 = 4$, а знаменатель равен $5$. Так как $4 < 5$, то $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{5}{8}$: удвоенный числитель $2 \cdot 5 = 10$, а знаменатель равен $8$. Так как $10 > 8$, то $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ и $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$, то $\frac{2}{5} < \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$, $\frac{2}{5} < \frac{5}{8}$.

г) Сравним дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{7}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{4}{5}$: удвоенный числитель $2 \cdot 4 = 8$, а знаменатель равен $5$. Так как $8 > 5$, то $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{3}{7}$: удвоенный числитель $2 \cdot 3 = 6$, а знаменатель равен $7$. Так как $6 < 7$, то $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, то $\frac{4}{5} > \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$, $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, $\frac{4}{5} > \frac{3}{7}$.

д) Сравним дроби $\frac{7}{13}$ и $\frac{8}{17}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{7}{13}$: удвоенный числитель $2 \cdot 7 = 14$, а знаменатель равен $13$. Так как $14 > 13$, то $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{8}{17}$: удвоенный числитель $2 \cdot 8 = 16$, а знаменатель равен $17$. Так как $16 < 17$, то $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$ и $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$, то $\frac{7}{13} > \frac{8}{17}$.
Ответ: $\frac{7}{13} > \frac{1}{2}$, $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$, $\frac{7}{13} > \frac{8}{17}$.

е) Сравним дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{10}{19}$.
Сначала сравним каждую дробь с числом $\frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{8}{17}$: удвоенный числитель $2 \cdot 8 = 16$, а знаменатель равен $17$. Так как $16 < 17$, то $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$.
Для дроби $\frac{10}{19}$: удвоенный числитель $2 \cdot 10 = 20$, а знаменатель равен $19$. Так как $20 > 19$, то $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$.
Теперь сравним дроби между собой. Так как $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$ и $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$, то $\frac{8}{17} < \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{8}{17} < \frac{1}{2}$, $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$, $\frac{8}{17} < \frac{10}{19}$.

816. В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{8}{9} $. Чтобы из первой дроби получить 1, надо добавить $ \frac{1}{8} $, а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньшее: $ \frac{1}{9} $. Следовательно, вторая дробь больше: $ \frac{7}{8} < \frac{8}{9} $.

Сравните дроби:

а) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{9}{10} $

б) $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{12}{13} $

в) $ \frac{41}{42} $ и $ \frac{42}{43} $

г) $ \frac{39}{40} $ и $ \frac{38}{39} $

д) $ \frac{98}{99} $ и $ \frac{97}{98} $

е) $ \frac{1995}{1996} $ и $ \frac{1996}{1997} $

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{9}$ и $\frac{9}{10}$, найдем их «дополнения» до единицы. Дополнение для дроби $\frac{8}{9}$ равно $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Дополнение для дроби $\frac{9}{10}$ равно $1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$. Теперь сравним дополнения: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{10}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $9 < 10$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$. Это означает, что дроби $\frac{8}{9}$ не хватает до единицы больше, чем дроби $\frac{9}{10}$. Следовательно, $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$. Ответ: $\frac{8}{9} < \frac{9}{10}$.

б) Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Дополнение для $\frac{11}{12}$ равно $1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$. Дополнение для $\frac{12}{13}$ равно $1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$. Сравним дополнения $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $12 < 13$, то $\frac{1}{12} > \frac{1}{13}$. Поскольку дополнению дроби $\frac{11}{12}$ больше, сама дробь меньше. Значит, $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$. Ответ: $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

в) Сравним дроби $\frac{41}{42}$ и $\frac{42}{43}$. Дополнение для $\frac{41}{42}$ равно $1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$. Дополнение для $\frac{42}{43}$ равно $1 - \frac{42}{43} = \frac{1}{43}$. Сравним дополнения $\frac{1}{42}$ и $\frac{1}{43}$. Так как $42 < 43$, то $\frac{1}{42} > \frac{1}{43}$. Следовательно, дробь $\frac{41}{42}$ меньше, чем дробь $\frac{42}{43}$. Ответ: $\frac{41}{42} < \frac{42}{43}$.

г) Сравним дроби $\frac{39}{40}$ и $\frac{38}{39}$. Дополнение для $\frac{39}{40}$ равно $1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$. Дополнение для $\frac{38}{39}$ равно $1 - \frac{38}{39} = \frac{1}{39}$. Сравним дополнения $\frac{1}{40}$ и $\frac{1}{39}$. Так как $40 > 39$, то $\frac{1}{40} < \frac{1}{39}$. Чем меньше дополнение до единицы, тем больше сама дробь. Следовательно, $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$. Ответ: $\frac{39}{40} > \frac{38}{39}$.

д) Сравним дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{97}{98}$. Дополнение для $\frac{98}{99}$ равно $1 - \frac{98}{99} = \frac{1}{99}$. Дополнение для $\frac{97}{98}$ равно $1 - \frac{97}{98} = \frac{1}{98}$. Сравним дополнения $\frac{1}{99}$ и $\frac{1}{98}$. Так как $99 > 98$, то $\frac{1}{99} < \frac{1}{98}$. Поскольку дополнению дроби $\frac{98}{99}$ меньше, сама дробь больше. Значит, $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$. Ответ: $\frac{98}{99} > \frac{97}{98}$.

е) Сравним дроби $\frac{1995}{1996}$ и $\frac{1996}{1997}$. Дополнение для $\frac{1995}{1996}$ равно $1 - \frac{1995}{1996} = \frac{1}{1996}$. Дополнение для $\frac{1996}{1997}$ равно $1 - \frac{1996}{1997} = \frac{1}{1997}$. Сравним дополнения $\frac{1}{1996}$ и $\frac{1}{1997}$. Так как $1996 < 1997$, то $\frac{1}{1996} > \frac{1}{1997}$. Чем больше дополнение до единицы, тем меньше сама дробь. Следовательно, $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$. Ответ: $\frac{1995}{1996} < \frac{1996}{1997}$.

817. а) Алёша с папой стреляли в тире. Алёша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?

б) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?

а) Чтобы определить, чей результат лучше, нужно сравнить долю попаданий у каждого стрелка. Доля попаданий — это отношение количества попаданий к общему количеству выстрелов.

У Алёши доля попаданий составляет $\frac{5}{10}$, что можно сократить до $\frac{1}{2}$.

У папы доля попаданий составляет $\frac{3}{5}$.

Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 10.

Для Алёши: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$.

Для папы: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$.

Сравниваем полученные дроби: $\frac{6}{10} > \frac{5}{10}$. Следовательно, результат папы лучше.

Ответ: результат папы лучше.

б) Аналогично предыдущей задаче, сравним долю попаданий в кольцо у Саши и Коли.

Доля попаданий у Саши: $\frac{6}{10}$.

Доля попаданий у Коли: $\frac{5}{8}$.

Для сравнения дробей $\frac{6}{10}$ и $\frac{5}{8}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10 и 8 — это 40.

Для Саши: $\frac{6}{10} = \frac{6 \times 4}{10 \times 4} = \frac{24}{40}$.

Для Коли: $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{25}{40} > \frac{24}{40}$. Это означает, что Коля показал лучший результат.

Ответ: результат Коли лучше.