Страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

844. Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения.

переместительный закон сложения

Переместительный (или коммутативный) закон сложения гласит, что результат сложения двух чисел не зависит от порядка, в котором они складываются.
Словесная формулировка: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде этот закон записывается так: $a + b = b + a$, где $a$ и $b$ – любые числа.

Ответ: Переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Формула: $a + b = b + a$.

сочетательный закон сложения

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения показывает, что при сложении трех и более чисел порядок их группировки (сочетания) не влияет на конечный результат.
Словесная формулировка: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
В буквенном виде этот закон записывается так: $(a + b) + c = a + (b + c)$, где $a$, $b$ и $c$ – любые числа.

Ответ: Сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

845. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения?

Да, для дробей выполняются как переместительный, так и сочетательный законы сложения. Рассмотрим каждый из них подробно.

переместительный закон сложения

Переместительный (или коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a + b = b + a$.

Докажем, что этот закон выполняется для дробей. Возьмём две произвольные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

1. Сложим их в порядке $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$. Для этого приведём дроби к общему знаменателю $bd$:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$

2. Теперь сложим их в обратном порядке $\frac{c}{d} + \frac{a}{b}$. Общий знаменатель будет $db$:
$\frac{c}{d} + \frac{a}{b} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b} + \frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{cb + ad}{db}$

Поскольку для целых чисел выполняются переместительные законы сложения ($ad + cb = cb + ad$) и умножения ($bd = db$), то полученные дроби равны:
$\frac{ad + cb}{bd} = \frac{cb + ad}{db}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.

Пример:
$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$
$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15}$
Результаты одинаковы.

Ответ: Да, для дробей выполняется переместительный закон сложения.

сочетательный закон сложения

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения гласит, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от порядка действий. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Докажем, что этот закон выполняется для дробей. Возьмём три произвольные дроби $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ и $\frac{e}{f}$.

1. Найдём сумму, группируя первые два слагаемых: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f}$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Затем прибавим третью дробь:
$(\frac{ad + bc}{bd}) + \frac{e}{f} = \frac{(ad + bc)f}{bdf} + \frac{e(bd)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$

2. Теперь найдем сумму, группируя вторые два слагаемых: $\frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.
Сначала выполним сложение в скобках:
$\frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{cf + de}{df}$
Затем прибавим к первой дроби полученный результат:
$\frac{a}{b} + (\frac{cf + de}{df}) = \frac{a(df)}{bdf} + \frac{b(cf + de)}{bdf} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$

Результаты в обоих случаях совпали. Это доказывает, что $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$.

Пример:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{4} = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) + \frac{1}{4} = \frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + (\frac{4}{12} + \frac{3}{12}) = \frac{1}{2} + \frac{7}{12} = \frac{6}{12} + \frac{7}{12} = \frac{13}{12}$
Результаты одинаковы.

Ответ: Да, для дробей выполняется сочетательный закон сложения.

846. Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые, заключать слагаемые в скобки?

Да, в сумме чисел можно и менять местами слагаемые, и заключать их в скобки. Это возможно благодаря двум основным свойствам сложения: переместительному и сочетательному.

Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые?

Да, можно. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Формула переместительного закона:

$a + b = b + a$

Например, если мы складываем числа 14 и 25, результат будет одинаковым независимо от их порядка:

$14 + 25 = 39$

$25 + 14 = 39$

Это свойство очень полезно, так как позволяет переставлять числа для удобства вычислений.

Ответ: Да, можно.

Можно ли заключать слагаемые в скобки?

Да, можно. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения. Оно означает, что при сложении трех и более чисел их можно группировать (заключать в скобки) любым способом, результат от этого не изменится.

Формула сочетательного закона:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Например, найдем сумму чисел $38 + 15 + 5$. Можно сгруппировать слагаемые по-разному:

1. Сначала сложить первые два числа: $(38 + 15) + 5 = 53 + 5 = 58$.

2. Сначала сложить последние два числа: $38 + (15 + 5) = 38 + 20 = 58$.

Как видно, второй способ проще, так как сложение $15 + 5$ дает "круглое" число 20. Использование скобок помогает находить наиболее удобный порядок вычислений.

Ответ: Да, можно.

847. На рисунке 165 изображён отрезок AB, разделённый на четыре равные части. $AB = 12$ см.

а) Найдите длины отрезков AC и CB.

б) С помощью рисунка, покажите, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.

Рис. 165

а)

По условию, отрезок $AB$ длиной $12$ см разделён на четыре равные части. Чтобы найти длину одной такой части, нужно общую длину разделить на количество частей:

$12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$

Из рисунка видно, что отрезок $AC$ состоит из одной такой части. Следовательно, его длина равна:

$AC = 1 \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Отрезок $CB$ состоит из оставшихся трёх частей. Следовательно, его длина равна:

$CB = 3 \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Проверить можно, сложив длины отрезков $AC$ и $CB$: $3 \text{ см} + 9 \text{ см} = 12 \text{ см}$, что равно длине отрезка $AB$.

Ответ: $AC = 3$ см, $CB = 9$ см.

б)

Примем весь отрезок $AB$ за единицу (целое). Так как он разделён на 4 равные части, то каждая часть составляет $\frac{1}{4}$ от всего отрезка.

Отрезок $AC$ состоит из одной части, значит, его длина составляет $\frac{1}{4}$ длины отрезка $AB$.

Отрезок $CB$ состоит из трёх частей, значит, его длина составляет $\frac{3}{4}$ длины отрезка $AB$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ равна длине всего отрезка $AB$. В долях это можно записать так: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Это соответствует сложению отрезка $AC$ и отрезка $CB$, что в итоге дает целый отрезок $AB$.

Равенство $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ иллюстрирует переместительный закон сложения. На рисунке это означает, что если мы сложим длину отрезка $AC$ (1 часть) с длиной отрезка $CB$ (3 части), мы получим тот же результат (весь отрезок $AB$), что и при сложении длины отрезка $CB$ (3 части) с длиной отрезка $AC$ (1 часть). В обоих случаях мы получаем 4 части, то есть целый отрезок $AB$.

Ответ: Отрезок AC составляет $\frac{1}{4}$ всего отрезка AB, а отрезок CB составляет $\frac{3}{4}$ отрезка AB. Сумма этих частей, $AC + CB$, дает весь отрезок AB, что соответствует выражению $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Так как от перестановки слагаемых сумма не меняется, то и $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ также соответствует всему отрезку AB. Таким образом, рисунок показывает, что $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$.