Страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 166

$ \frac{1}{3} $

улетели

остались — 6

?

878. a) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьёв улетела, их осталось 6 (рис. 166). Сколько воробьёв было на ветке?

б) Некто израсходовал $ \frac{3}{4} $ своих денег, и у него осталось 20 р. Сколько денег у него было?

в) В первый день туристы прошли $ \frac{2}{5} $ намеченного маршрута, а во второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на $ \frac{1}{4} $. Сколько марок было в коллекции год назад?

а) Пусть $x$ — это общее количество воробьёв, которое было на ветке изначально.
Согласно условию, улетела треть воробьёв, то есть $\frac{1}{3}x$.
Оставшаяся часть воробьёв составляет $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от общего числа.
Из условия задачи известно, что эта оставшаяся часть равна 6 воробьям.
Таким образом, мы можем составить уравнение:
$\frac{2}{3}x = 6$
Чтобы найти $x$ (общее число воробьёв), нужно 6 разделить на дробь $\frac{2}{3}$:
$x = 6 \div \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Изначально на ветке было 9 воробьёв.
Ответ: 9 воробьёв.

б) Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег.
Некто израсходовал $\frac{3}{4}$ своих денег.
Значит, у него осталась часть денег, равная $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ от всей суммы.
По условию, эта оставшаяся часть составляет 20 рублей.
Составим уравнение:
$\frac{1}{4}x = 20$
Чтобы найти всю сумму $x$, умножим 20 на 4:
$x = 20 \cdot 4 = 80$
Изначально было 80 рублей.
Ответ: 80 рублей.

в) Пусть $x$ — это общая длина маршрута в км.
В первый день туристы прошли $\frac{2}{5}$ маршрута.
Следовательно, оставшаяся часть маршрута составляет $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
Во второй день туристы прошли оставшиеся 15 км, что и составляет $\frac{3}{5}$ от всего маршрута.
Составим уравнение:
$\frac{3}{5}x = 15$
Чтобы найти $x$ (общую длину маршрута), нужно 15 разделить на дробь $\frac{3}{5}$:
$x = 15 \div \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{75}{3} = 25$
Общая длина маршрута составляет 25 км.
Ответ: 25 км.

г) Пусть $x$ — это количество марок в коллекции год назад.
За год число марок увеличилось на $\frac{1}{4}$ от первоначального количества.
Новое количество марок стало равно первоначальному количеству плюс увеличение: $x + \frac{1}{4}x = \frac{4}{4}x + \frac{1}{4}x = \frac{5}{4}x$.
Сейчас в коллекции 200 марок, значит:
$\frac{5}{4}x = 200$
Чтобы найти $x$ (количество марок год назад), нужно 200 разделить на дробь $\frac{5}{4}$:
$x = 200 \div \frac{5}{4} = 200 \cdot \frac{4}{5} = \frac{800}{5} = 160$
Год назад в коллекции было 160 марок.
Ответ: 160 марок.

879. a) За куски ленты длиной $\frac{1}{4}$ м и $\frac{1}{5}$ м заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?

б) За $\frac{1}{2}$ м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за $\frac{1}{5}$ м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?

а)

1. Сначала найдем общую длину двух кусков ленты. Для этого сложим их длины:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 - это 20.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ м

2. Мы знаем, что за $\frac{9}{20}$ м ленты заплатили 18 рублей. Чтобы найти, сколько стоит 1 метр ленты, нужно общую стоимость разделить на общую длину:

$18 \div \frac{9}{20} = 18 \times \frac{20}{9} = \frac{18 \times 20}{9} = 2 \times 20 = 40$ рублей

Ответ: 1 м ленты стоит 40 рублей.

б)

1. В задаче сказано, что за $\frac{1}{2}$ м тесьмы заплатили на 6 рублей больше, чем за $\frac{1}{5}$ м. Эта разница в цене (6 рублей) соответствует разнице в длине. Найдем, на сколько один кусок длиннее другого:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$

Теперь найдем разницу:

$\frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$ м

2. Итак, мы выяснили, что $\frac{3}{10}$ м тесьмы стоят 6 рублей. Чтобы найти стоимость 1 метра, нужно стоимость этого куска разделить на его длину:

$6 \div \frac{3}{10} = 6 \times \frac{10}{3} = \frac{6 \times 10}{3} = 2 \times 10 = 20$ рублей

Ответ: 1 м тесьмы стоит 20 рублей.

880. До обеда токарь выполнил $\frac{2}{8}$ задания, после обеда $\frac{3}{8}$ задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?

Для того чтобы найти общее количество деталей, которое должен был обточить токарь, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем, какую часть всего задания токарь выполнил за день (до обеда и после). Для этого сложим части, выполненные до обеда и после обеда: $ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8} $ Таким образом, токарь выполнил $ \frac{5}{8} $ всего задания.

2. Теперь определим, какая часть задания осталась невыполненной. Всё задание принимается за единицу (или $ \frac{8}{8} $). Вычтем из всего задания выполненную часть: $ 1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} $ Значит, токарю осталось выполнить $ \frac{3}{8} $ задания.

3. Из условия известно, что оставшаяся часть задания составляет 24 детали. Следовательно, $ \frac{3}{8} $ от общего количества деталей равны 24. Чтобы найти общее количество деталей, мы можем найти, сколько деталей составляет одна часть ($ \frac{1}{8} $), а затем умножить на общее количество частей (8). Найдем, сколько деталей в $ \frac{1}{8} $ части: $ 24 \div 3 = 8 $ деталей.

4. Теперь, зная, что $ \frac{1}{8} $ задания — это 8 деталей, найдем общее количество деталей (т.е. $ \frac{8}{8} $): $ 8 \times 8 = 64 $ детали.

Ответ: Токарь должен был обточить 64 детали.

881. а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали $ \frac{2}{3} $ поля. Первый тракторист вспахал $ \frac{1}{2} $ поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?

б) Две машины, движущиеся навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на $ \frac{1}{3} $ расстояния между двумя городами. Первая машина проехала $ \frac{1}{8} $ этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?

в) Через две трубы за каждый час наполняется $ \frac{1}{3} $ бассейна. Через первую трубу за час наполняется $ \frac{1}{10} $ бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?

а) Чтобы найти, какую часть поля вспахал второй тракторист, нужно из общей вспаханной части (совместная работа) вычесть часть, которую вспахал первый тракторист.

Общая вспаханная часть поля равна $\frac{2}{3}$.

Часть поля, вспаханная первым трактористом, равна $\frac{1}{2}$.

Выполним вычитание: $\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: второй тракторист вспахал $\frac{1}{6}$ поля.

б) Чтобы найти, какую часть всего расстояния проехала вторая машина, нужно из общего расстояния, на которое сблизились машины, вычесть расстояние, которое проехала первая машина.

Общее расстояние, на которое они сблизились, равно $\frac{1}{3}$ расстояния между городами.

Первая машина проехала $\frac{1}{8}$ этого расстояния.

Выполним вычитание: $\frac{1}{3} - \frac{1}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} - \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{8}{24} - \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$

Ответ: вторая машина проехала $\frac{5}{24}$ всего расстояния.

в) Чтобы определить, какая часть бассейна наполняется за 1 час через вторую трубу, нужно из общей части бассейна, наполняемой двумя трубами за час, вычесть часть, наполняемую за час первой трубой.

Через две трубы за час наполняется $\frac{1}{3}$ бассейна.

Через первую трубу за час наполняется $\frac{1}{10}$ бассейна.

Выполним вычитание: $\frac{1}{3} - \frac{1}{10}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{10}{30} - \frac{3}{30} = \frac{7}{30}$

Ответ: за 1 час через вторую трубу наполняется $\frac{7}{30}$ бассейна.