Страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

886. Назовите дробь, обратную дроби $ \frac{3}{7} $.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной обыкновенной дроби, необходимо ее числитель и знаменатель поменять местами.

В исходной дроби $\frac{3}{7}$ числитель равен 3, а знаменатель равен 7.

Для того чтобы получить обратную дробь, мы должны поставить знаменатель (7) на место числителя, а числитель (3) на место знаменателя. В результате получаем дробь $\frac{7}{3}$.

Выполним проверку, умножив исходную дробь на полученную:

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21} = 1$

Произведение равно 1, следовательно, дробь найдена верно.

Ответ: $\frac{7}{3}$

887. Какие дроби называют взаимно обратными? Приведите пример.

Какие дроби называют взаимно обратными?

Две дроби называют взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Например, для дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \neq 0$ и $b \neq 0$) обратной будет дробь $\frac{b}{a}$, так как их произведение равно 1:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1$.

Ответ: Взаимно обратными называют две дроби, произведение которых равно 1.

Приведите пример.

1. Возьмем дробь $\frac{4}{7}$. Дробь, обратная ей, будет $\frac{7}{4}$.
Проверим их произведение:
$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 4} = \frac{28}{28} = 1$.
Следовательно, дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{7}{4}$ являются взаимно обратными.

2. Возьмем целое число 10. Его можно представить в виде дроби $\frac{10}{1}$.
Обратным для него будет число $\frac{1}{10}$. Проверим их произведение:
$10 \cdot \frac{1}{10} = \frac{10}{1} \cdot \frac{1}{10} = \frac{10 \cdot 1}{1 \cdot 10} = \frac{10}{10} = 1$.
Следовательно, числа 10 и $\frac{1}{10}$ являются взаимно обратными.

Ответ: Примером взаимно обратных дробей являются $\frac{4}{7}$ и $\frac{7}{4}$.

888. Чему равно произведение взаимно обратных чисел?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Это следует прямо из определения, которое и является ответом на вопрос.

Рассмотрим это правило в общем виде. Пусть дано число $a$, которое не равно нулю ($a \neq 0$). Числом, обратным к $a$, будет число $\frac{1}{a}$.

Найдем их произведение:

$a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = 1$

Таким образом, произведение любого числа (кроме нуля) и обратного ему числа всегда равно единице.

Примеры:

• Для целого числа 8 обратным будет число $\frac{1}{8}$. Их произведение: $8 \cdot \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

• Для дроби $\frac{3}{5}$ обратной будет дробь $\frac{5}{3}$. Их произведение: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = \frac{15}{15} = 1$.

Ответ: 1

889. Вычислите произведение:

а) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9}$;

б) $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11}$;

В) $\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{5}$;

Г) $\frac{5}{8} \cdot \frac{9}{7}$.

а)

Чтобы найти произведение двух дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Произведение числителей станет новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27} $

Дробь $ \frac{10}{27} $ несократима, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.

Ответ: $ \frac{10}{27} $.

б)

Вычислим произведение дробей, умножив числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{11} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 11} = \frac{6}{55} $

Полученная дробь $ \frac{6}{55} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{6}{55} $.

в)

Умножим числители и знаменатели данных дробей.

$ \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 5} = \frac{63}{40} $

Так как числитель больше знаменателя, эта дробь является неправильной. Мы можем выделить целую часть.

$ \frac{63}{40} = 1 \frac{23}{40} $

Ответ: $ \frac{63}{40} $.

г)

Найдем произведение, перемножив числители и знаменатели.

$ \frac{5}{8} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5 \cdot 9}{8 \cdot 7} = \frac{45}{56} $

Дробь $ \frac{45}{56} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{45}{56} $.

890. Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу:

а) $\frac{6}{8} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{4}$;

б) $\frac{15}{24}$;

в) $\frac{12}{8}$;

г) $\frac{25}{30}$.

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{15}{24} $, представим числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел, выделив общий множитель. Общим множителем для чисел 15 и 24 является 3.
$ \frac{15}{24} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{5}{8} $
Ответ: $ \frac{5}{8} $

в)

Чтобы сократить дробь $ \frac{12}{8} $, представим числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел. Наибольшим общим множителем для 12 и 8 является 4.
$ \frac{12}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

г)

Чтобы сократить дробь $ \frac{25}{30} $, представим числитель и знаменатель в виде произведения натуральных чисел. Общим множителем для 25 и 30 является 5.
$ \frac{25}{30} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $

891. Сократите дробь:

а) $\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 15}$

б) $\frac{6 \cdot 15}{30 \cdot 18}$

в) $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 6}$

г) $\frac{35 \cdot 42}{30 \cdot 49}$

д) $\frac{18 \cdot 45}{40 \cdot 27}$

е) $ \frac{63 \cdot 56}{49 \cdot 45}$

ж) $\frac{12 \cdot 15 \cdot 26}{13 \cdot 120}$

з) $\frac{48 \cdot 5 \cdot 12}{30 \cdot 16 \cdot 8}$

а) Для сокращения дроби $\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 15}$ сократим 8 в числителе и 4 в знаменателе на их общий делитель 4.

$\frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 15} = \frac{7 \cdot (8:4)}{(4:4) \cdot 15} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 15} = \frac{14}{15}$.

Ответ: $\frac{14}{15}$.

б) В дроби $\frac{6 \cdot 15}{30 \cdot 18}$ сократим 6 и 18 на 6, а также 15 и 30 на 15.

$\frac{6 \cdot 15}{30 \cdot 18} = \frac{(6:6) \cdot (15:15)}{(30:15) \cdot (18:6)} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) В дроби $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 6}$ сократим 8 и 6 на 2, а также 9 и 27 на 9.

$\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 6} = \frac{(8:2) \cdot (9:9)}{(27:9) \cdot (6:2)} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

г) В дроби $\frac{35 \cdot 42}{30 \cdot 49}$ сократим 35 и 30 на 5, а 42 и 49 на 7.

$\frac{35 \cdot 42}{30 \cdot 49} = \frac{(35:5) \cdot 42}{(30:5) \cdot 49} = \frac{7 \cdot 42}{6 \cdot 49}$.

Теперь сократим 7 и 49 на 7, а 42 и 6 на 6:

$\frac{(7:7) \cdot (42:6)}{(6:6) \cdot (49:7)} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 7} = 1$.

Ответ: $1$.

д) В дроби $\frac{18 \cdot 45}{40 \cdot 27}$ сократим 18 и 27 на 9, а 45 и 40 на 5.

$\frac{18 \cdot 45}{40 \cdot 27} = \frac{(18:9) \cdot (45:5)}{(40:5) \cdot (27:9)} = \frac{2 \cdot 9}{8 \cdot 3}$.

Сократим получившуюся дробь: 2 и 8 на 2, а 9 и 3 на 3.

$\frac{2 \cdot 9}{8 \cdot 3} = \frac{(2:2) \cdot (9:3)}{(8:2) \cdot (3:3)} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

е) В дроби $\frac{63 \cdot 56}{49 \cdot 45}$ сократим 63 и 45 на 9, а 56 и 49 на 7.

$\frac{63 \cdot 56}{49 \cdot 45} = \frac{(63:9) \cdot (56:7)}{(49:7) \cdot (45:9)} = \frac{7 \cdot 8}{7 \cdot 5}$.

Сократим 7 в числителе и знаменателе:

$\frac{7 \cdot 8}{7 \cdot 5} = \frac{8}{5}$.

Ответ: $\frac{8}{5}$.

ж) В дроби $\frac{12 \cdot 15 \cdot 26}{13 \cdot 120}$ сократим 12 и 120 на 12, а 26 и 13 на 13.

$\frac{12 \cdot 15 \cdot 26}{13 \cdot 120} = \frac{(12:12) \cdot 15 \cdot (26:13)}{(13:13) \cdot (120:12)} = \frac{1 \cdot 15 \cdot 2}{1 \cdot 10} = \frac{30}{10}$.

$\frac{30}{10} = 3$.

Ответ: $3$.

з) В дроби $\frac{48 \cdot 5 \cdot 12}{30 \cdot 16 \cdot 8}$ выполним сокращения. Сократим 48 и 16 на 16. Сократим 12 и 8 на 4. Сократим 5 и 30 на 5.

$\frac{48 \cdot 5 \cdot 12}{30 \cdot 16 \cdot 8} = \frac{(48:16) \cdot (5:5) \cdot (12:4)}{(30:5) \cdot (16:16) \cdot (8:4)} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 3}{6 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{9}{12}$.

Сократим получившуюся дробь $\frac{9}{12}$ на 3:

$\frac{9:3}{12:3} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

Вычислите произведение (892–899).

892. а) $\frac{5}{12} \cdot \frac{7}{8};$

б) $\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9};$

в) $\frac{12}{13} \cdot \frac{2}{3};$

г) $\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{16};$

д) $\frac{14}{25} \cdot \frac{10}{49};$

е) $\frac{13}{10} \cdot \frac{100}{39};$

ж) $\frac{15}{14} \cdot \frac{7}{12};$

з) $\frac{45}{34} \cdot \frac{17}{15}.$

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. В данном случае общих делителей у числителей и знаменателей нет, поэтому просто выполняем умножение:
$ \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 8} = \frac{35}{96} $.
Ответ: $ \frac{35}{96} $

б) В этом примере можно сократить дробь перед умножением. Числитель первой дроби (6) и знаменатель второй (9) имеют общий делитель 3.
$ \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} = \frac{6 \div 3}{7} \cdot \frac{8}{9 \div 3} = \frac{2}{7} \cdot \frac{8}{3} $.
Теперь перемножаем полученные дроби:
$ \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 3} = \frac{16}{21} $.
Ответ: $ \frac{16}{21} $

в) Сократим числитель первой дроби (12) и знаменатель второй (3) на их общий делитель 3.
$ \frac{12}{13} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \div 3}{13} \cdot \frac{2}{3 \div 3} = \frac{4}{13} \cdot \frac{2}{1} $.
Выполняем умножение:
$ \frac{4 \cdot 2}{13 \cdot 1} = \frac{8}{13} $.
Ответ: $ \frac{8}{13} $

г) Здесь можно выполнить сокращение "крест-накрест". Сократим 4 и 16 на 4, а также 9 и 27 на 9.
$ \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{16} = \frac{4 \div 4}{9 \div 9} \cdot \frac{27 \div 9}{16 \div 4} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} $.
Результат умножения:
$ \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $

д) Сократим 14 и 49 на 7, а также 25 и 10 на 5.
$ \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{49} = \frac{14 \div 7}{25 \div 5} \cdot \frac{10 \div 5}{49 \div 7} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} $.
Перемножаем числители и знаменатели:
$ \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{4}{35} $.
Ответ: $ \frac{4}{35} $

е) Сократим 13 и 39 на 13, а также 10 и 100 на 10.
$ \frac{13}{10} \cdot \frac{100}{39} = \frac{13 \div 13}{10 \div 10} \cdot \frac{100 \div 10}{39 \div 13} = \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{3} $.
Результат:
$ \frac{1 \cdot 10}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3} $.
Можно представить в виде смешанного числа: $ 3\frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{10}{3} $

ж) Сократим 15 и 12 на 3, а также 14 и 7 на 7.
$ \frac{15}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{15 \div 3}{14 \div 7} \cdot \frac{7 \div 7}{12 \div 3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} $.
Выполняем умножение:
$ \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} $.
Ответ: $ \frac{5}{8} $

з) Сократим 45 и 15 на 15, а также 34 и 17 на 17.
$ \frac{45}{34} \cdot \frac{17}{15} = \frac{45 \div 15}{34 \div 17} \cdot \frac{17 \div 17}{15 \div 15} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} $.
Результат умножения:
$ \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} $.
Можно представить в виде смешанного числа: $ 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $

893. а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$;

б) $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{10}{9}$;

в) $\frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} \cdot \frac{15}{32}$;

г) $\frac{5}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{3}$;

д) $\frac{42}{56} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{36}$;

е) $\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10}$.

а) Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 6}$
Теперь сократим дробь. Сокращаем общий множитель 5 в числителе и знаменателе:
$\frac{1 \cdot 4 \cdot \cancel{5}}{2 \cdot \cancel{5} \cdot 6} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 6}$
Сокращаем 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:
$\frac{1 \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{2}_1 \cdot 6} = \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{2}{6}$
И сокращаем полученную дробь $\frac{2}{6}$ на 2:
$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{6}_3} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{35} \cdot \frac{10}{9} = \frac{7 \cdot 4 \cdot 10}{8 \cdot 35 \cdot 9}$
Выполним сокращение. Сокращаем 7 и 35 на 7, а также 4 и 8 на 4:
$\frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{4}^1 \cdot 10}{\cancel{8}_2 \cdot \cancel{35}_5 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 10}{2 \cdot 5 \cdot 9}$
В знаменателе произведение $2 \cdot 5 = 10$. Сокращаем его с 10 в числителе:
$\frac{10}{10 \cdot 9} = \frac{\cancel{10}^1}{\cancel{10}_1 \cdot 9} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

в) Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{13}{12} \cdot \frac{24}{65} \cdot \frac{15}{32} = \frac{13 \cdot 24 \cdot 15}{12 \cdot 65 \cdot 32}$
Выполним сокращение. Сокращаем 24 и 12 на 12:
$\frac{13 \cdot \cancel{24}^2 \cdot 15}{\cancel{12}_1 \cdot 65 \cdot 32} = \frac{13 \cdot 2 \cdot 15}{65 \cdot 32}$
Сокращаем 13 и 65 на 13 (так как $65 = 13 \cdot 5$):
$\frac{\cancel{13}^1 \cdot 2 \cdot 15}{\cancel{65}_5 \cdot 32} = \frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 32}$
Сокращаем 15 и 5 на 5:
$\frac{2 \cdot \cancel{15}^3}{\cancel{5}_1 \cdot 32} = \frac{2 \cdot 3}{32}$
И, наконец, сокращаем 2 и 32 на 2:
$\frac{\cancel{2}^1 \cdot 3}{\cancel{32}_{16}} = \frac{3}{16}$
Ответ: $\frac{3}{16}$

г) Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{5}{16} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 4}{16 \cdot 15 \cdot 3}$
Выполним сокращение. Сокращаем 5 и 15 на 5, а также 8 и 16 на 8:
$\frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{8}^1 \cdot 4}{\cancel{16}_2 \cdot \cancel{15}_3 \cdot 3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 3}$
Сокращаем 4 и 2 на 2:
$\frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}_1 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$
Ответ: $\frac{2}{9}$

д) Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{42}{56} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{15}{36} = \frac{42 \cdot 16 \cdot 15}{56 \cdot 5 \cdot 36}$
Выполним сокращение. Сократим 42 и 56 на 14 (так как $42=3 \cdot 14$ и $56=4 \cdot 14$):
$\frac{\cancel{42}^3 \cdot 16 \cdot 15}{\cancel{56}_4 \cdot 5 \cdot 36} = \frac{3 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 5 \cdot 36}$
Сокращаем 16 и 4 на 4:
$\frac{3 \cdot \cancel{16}^4 \cdot 15}{\cancel{4}_1 \cdot 5 \cdot 36} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 15}{5 \cdot 36}$
Сокращаем 15 и 5 на 5:
$\frac{3 \cdot 4 \cdot \cancel{15}^3}{\cancel{5}_1 \cdot 36} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 3}{36}$
В числителе получаем $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$. Дробь становится равной:
$\frac{36}{36} = 1$
Ответ: $1$

е) Запишем произведение в виде одной дроби:
$\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 9}{8 \cdot 9 \cdot 10}$
Сокращаем общие множители 8 в числителе и знаменателе:
$\frac{5 \cdot \cancel{8} \cdot 9}{\cancel{8} \cdot 9 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 10}$
Сокращаем общие множители 9 в числителе и знаменателе:
$\frac{5 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 10} = \frac{5}{10}$
Сокращаем полученную дробь $\frac{5}{10}$ на 5:
$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{10}_2} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

894. а) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6}; $

в) $ \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}; $

г) $ \frac{13}{15} \cdot \frac{15}{17}; $

д) $ \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{42}; $

е) $ \frac{13}{15} \cdot \frac{45}{26}; $

ж) $ \frac{15}{28} \cdot \frac{7}{30}; $

з) $ \frac{35}{51} \cdot \frac{17}{15}. $

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь. $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} $. Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе: $ \frac{1 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3} $. Ответ: $ \frac{1}{3} $

б) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{7 \cdot 6} $. Сократим общий множитель 6: $ \frac{\cancel{6} \cdot 5}{7 \cdot \cancel{6}} = \frac{5}{7} $. Ответ: $ \frac{5}{7} $

в) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} = \frac{9 \cdot 10}{10 \cdot 11} $. Сократим общий множитель 10: $ \frac{9 \cdot \cancel{10}}{\cancel{10} \cdot 11} = \frac{9}{11} $. Ответ: $ \frac{9}{11} $

г) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{13}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{13 \cdot 15}{15 \cdot 17} $. Сократим общий множитель 15: $ \frac{13 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15} \cdot 17} = \frac{13}{17} $. Ответ: $ \frac{13}{17} $

д) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{42} = \frac{14 \cdot 5}{15 \cdot 42} $. Сократим дробь. Числитель 14 и знаменатель 42 имеют общий делитель 14 ($42=3 \cdot 14$). Числитель 5 и знаменатель 15 имеют общий делитель 5 ($15=3 \cdot 5$). $ \frac{14 \cdot 5}{15 \cdot 42} = \frac{\cancel{14} \cdot \cancel{5}}{(3 \cdot \cancel{5}) \cdot (3 \cdot \cancel{14})} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} $. Ответ: $ \frac{1}{9} $

е) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{13}{15} \cdot \frac{45}{26} = \frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 26} $. Сократим дробь. 13 и 26 делятся на 13 ($26=2 \cdot 13$). 45 и 15 делятся на 15 ($45=3 \cdot 15$). $ \frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 26} = \frac{\cancel{13} \cdot (3 \cdot \cancel{15})}{\cancel{15} \cdot (2 \cdot \cancel{13})} = \frac{3}{2} $. Ответ: $ \frac{3}{2} $

ж) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{15}{28} \cdot \frac{7}{30} = \frac{15 \cdot 7}{28 \cdot 30} $. Сократим дробь. 15 и 30 делятся на 15 ($30=2 \cdot 15$). 7 и 28 делятся на 7 ($28=4 \cdot 7$). $ \frac{15 \cdot 7}{28 \cdot 30} = \frac{\cancel{15} \cdot \cancel{7}}{(4 \cdot \cancel{7}) \cdot (2 \cdot \cancel{15})} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} $. Ответ: $ \frac{1}{8} $

з) Перемножим числители и знаменатели: $ \frac{35}{51} \cdot \frac{17}{15} = \frac{35 \cdot 17}{51 \cdot 15} $. Сократим дробь. 35 и 15 делятся на 5 ($35=7 \cdot 5$, $15=3 \cdot 5$). 17 и 51 делятся на 17 ($51=3 \cdot 17$). $ \frac{35 \cdot 17}{51 \cdot 15} = \frac{(7 \cdot \cancel{5}) \cdot \cancel{17}}{(3 \cdot \cancel{17}) \cdot (3 \cdot \cancel{5})} = \frac{7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9} $. Ответ: $ \frac{7}{9} $

895. а) $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{13}{18}$;

в) $\frac{4}{11} \cdot \frac{22}{39} \cdot \frac{13}{16}$;

г) $\frac{42}{39} \cdot \frac{1}{42} \cdot \frac{39}{60}$;

д) $\frac{101}{102} \cdot \frac{102}{103} \cdot \frac{103}{104}$;

е) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{18}$.

а) Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Запишем произведение в виде одной дроби:$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} $.Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (2 и 3):$ \frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

б) Запишем произведение в виде одной дроби, перемножив числители и знаменатели:$ \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 13}{7 \cdot 13 \cdot 18} $.Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (7 и 13):$ \frac{5 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{13}}{\cancel{7} \cdot \cancel{13} \cdot 18} = \frac{5}{18} $.
Ответ: $ \frac{5}{18} $

в) Запишем произведение в виде одной дроби:$ \frac{4}{11} \cdot \frac{22}{39} \cdot \frac{13}{16} = \frac{4 \cdot 22 \cdot 13}{11 \cdot 39 \cdot 16} $.Для удобства сокращения разложим числа на множители: $ 22 = 2 \cdot 11 $, $ 39 = 3 \cdot 13 $, $ 16 = 4 \cdot 4 $. Подставим разложение в дробь:$ \frac{4 \cdot (2 \cdot 11) \cdot 13}{11 \cdot (3 \cdot 13) \cdot (4 \cdot 4)} $.Теперь сократим общие множители: 4, 11 и 13.$ \frac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot \cancel{11} \cdot \cancel{13}}{\cancel{11} \cdot 3 \cdot \cancel{13} \cdot \cancel{4} \cdot 4} = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} $.Сократим полученную дробь на 2:$ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

г) Перемножим числители и знаменатели дробей:$ \frac{42}{39} \cdot \frac{1}{42} \cdot \frac{39}{60} = \frac{42 \cdot 1 \cdot 39}{39 \cdot 42 \cdot 60} $.Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (42 и 39):$ \frac{\cancel{42} \cdot 1 \cdot \cancel{39}}{\cancel{39} \cdot \cancel{42} \cdot 60} = \frac{1}{60} $.
Ответ: $ \frac{1}{60} $

д) Запишем произведение в виде одной дроби:$ \frac{101}{102} \cdot \frac{102}{103} \cdot \frac{103}{104} = \frac{101 \cdot 102 \cdot 103}{102 \cdot 103 \cdot 104} $.Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (102 и 103):$ \frac{101 \cdot \cancel{102} \cdot \cancel{103}}{\cancel{102} \cdot \cancel{103} \cdot 104} = \frac{101}{104} $.
Ответ: $ \frac{101}{104} $

е) Перемножим числители и знаменатели дробей:$ \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 13}{8 \cdot 13 \cdot 18} $.Сократим одинаковые множители (8 и 13):$ \frac{3 \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{13}}{\cancel{8} \cdot \cancel{13} \cdot 18} = \frac{3}{18} $.Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:$ \frac{3 \div 3}{18 \div 3} = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $

896. а) $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6}$;

б) $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}$;

в) $\frac{9}{10} \cdot \frac{40}{27}$;

г) $\frac{17}{23} \cdot \frac{46}{51}$.

а) Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение числителей станет новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6}$

Перед тем как выполнять умножение, можно сократить дробь, чтобы упростить вычисления. Сократим числитель и знаменатель на общие множители. В данном случае, можно сократить на 5 и на 3:

$\frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{5}_1 \cdot \cancel{6}_2} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 6}$

В данном случае мы умножаем две взаимно обратные дроби. Их произведение всегда равно 1. Можно также сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{6}^1 \cdot \cancel{7}^1}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{6}_1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$

Ответ: $1$

в) Запишем произведение в виде одной дроби.

$\frac{9}{10} \cdot \frac{40}{27} = \frac{9 \cdot 40}{10 \cdot 27}$

Сократим дробь. Числитель 9 и знаменатель 27 имеют общий делитель 9. Числитель 40 и знаменатель 10 имеют общий делитель 10.

$\frac{\cancel{9}^1 \cdot \cancel{40}^4}{\cancel{10}_1 \cdot \cancel{27}_3} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

г) Перемножим числители и знаменатели данных дробей.

$\frac{17}{23} \cdot \frac{46}{51} = \frac{17 \cdot 46}{23 \cdot 51}$

Выполним сокращение. Числитель 17 и знаменатель 51 делятся на 17 ($51 = 3 \cdot 17$). Числитель 46 и знаменатель 23 делятся на 23 ($46 = 2 \cdot 23$).

$\frac{\cancel{17}^1 \cdot \cancel{46}^2}{\cancel{23}_1 \cdot \cancel{51}_3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$