Страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

922. а) Как разделить одну дробь на другую?

б) Как разделить дробь на натуральное число?

а) Как разделить одну дробь на другую?

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается путем замены числителя и знаменателя местами.

В виде формулы это правило выглядит так:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример: Разделим дробь $\frac{3}{5}$ на $\frac{2}{7}$.

1. Оставляем первую дробь $\frac{3}{5}$ без изменений.

2. Находим дробь, обратную делителю $\frac{2}{7}$. Это будет дробь $\frac{7}{2}$.

3. Заменяем деление умножением и выполняем его:

$\frac{3}{5} : \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 2} = \frac{21}{10}$

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

б) Как разделить дробь на натуральное число?

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель этой дроби умножить на данное число, а числитель оставить без изменений.

Это правило легко вывести, если представить натуральное число $n$ в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = \frac{n}{1}$, и затем применить правило деления дробей из пункта а):

$\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} : \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot n} = \frac{a}{b \cdot n}$

Пример: Разделим дробь $\frac{4}{9}$ на натуральное число 5.

Оставим числитель (4) без изменений, а знаменатель (9) умножим на 5:

$\frac{4}{9} : 5 = \frac{4}{9 \cdot 5} = \frac{4}{45}$

Ответ: Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

923. Можно ли делить:

а) нуль на дробь, отличную от нуля ($0 \div a$, где $a \ne 0$);

б) дробь на нуль ($b \div 0$);

в) натуральное число на натуральное число ($n \div m$, где $n, m \in \mathbb{N}$);

г) нуль на нуль ($0 \div 0$)?

а) ноль на дробь, отличную от нуля;

Да, можно. Деление нуля на любое число, не равное нулю, всегда дает в результате ноль. Пусть нам дана дробь $\frac{a}{b}$, где $\frac{a}{b} \neq 0$. Операция деления нуля на эту дробь эквивалентна умножению нуля на обратную дробь:

$0 \div \frac{a}{b} = 0 \times \frac{b}{a} = 0$

Поскольку дробь не равна нулю, ее числитель $a$ также не равен нулю, и обратная дробь $\frac{b}{a}$ существует. Результат такого действия всегда будет равен нулю.

Ответ: да.

б) дробь на ноль;

Нет, нельзя. Деление на ноль является неопределенной операцией в математике и запрещено. Если бы мы попытались разделить некоторую дробь $d$ на 0 и предположили, что результатом является число $c$, то должно было бы выполняться равенство $c \times 0 = d$. Однако произведение любого числа на ноль равно нулю. Следовательно, если дробь $d$ не равна нулю, то не существует такого числа $c$, которое удовлетворяло бы этому равенству. Поэтому делить на ноль нельзя.

Ответ: нет.

в) натуральное число на натуральное число;

Да, можно. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов (1, 2, 3, ...). Операция деления одного натурального числа на другое всегда выполнима. Результатом такого деления является положительное рациональное число. Этот результат может быть как целым (и натуральным), так и дробным. Например:

$10 \div 2 = 5$ (результат — натуральное число)

$3 \div 4 = \frac{3}{4} = 0.75$ (результат — дробное число)

В обоих случаях сама операция деления возможна и имеет определенный результат.

Ответ: да.

г) ноль на ноль?

Нет, нельзя. Выражение $0 \div 0$ является так называемой «неопределенностью» в математике. Если бы мы предположили, что результатом деления $0 \div 0$ является некое число $c$, то по определению деления должно было бы выполняться равенство $c \times 0 = 0$. Однако это равенство верно для абсолютно любого числа $c$ (например, $5 \times 0 = 0$ и $12 \times 0 = 0$). Поскольку результат не может быть определен однозначно, эта операция считается невозможной в стандартной арифметике.

Ответ: нет.