Страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

943. Что больше:

a) $\frac{3}{5}$ от 45 м или $\frac{4}{5}$ от 30 м;

б) $\frac{2}{3}$ от $\frac{3}{5}$ м или $\frac{3}{5}$ от $\frac{2}{3}$ м?

а) Чтобы определить, какая из величин больше, необходимо вычислить значение каждой из них. Нахождение дроби от числа означает умножение этого числа на дробь.

1. Вычислим первую величину: $\frac{3}{5}$ от 45 м.
$\frac{3}{5} \times 45 = \frac{3 \times 45}{5} = 3 \times \frac{45}{5} = 3 \times 9 = 27$ м.

2. Вычислим вторую величину: $\frac{4}{5}$ от 30 м.
$\frac{4}{5} \times 30 = \frac{4 \times 30}{5} = 4 \times \frac{30}{5} = 4 \times 6 = 24$ м.

3. Теперь сравним полученные результаты:
$27$ м $> 24$ м.

Следовательно, первая величина больше второй.

Ответ: $\frac{3}{5}$ от 45 м.

б) Чтобы сравнить данные величины, вычислим значение каждой из них.

1. Вычислим первую величину: $\frac{2}{3}$ от $\frac{3}{5}$ м.
$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ м.

2. Вычислим вторую величину: $\frac{3}{5}$ от $\frac{2}{3}$ м.
$\frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{5 \times 3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ м.

3. Сравним полученные результаты:
$\frac{2}{5}$ м $= \frac{2}{5}$ м.

Эти величины равны. Этот результат можно было предвидеть без вычислений, так как он является примером переместительного (коммутативного) свойства умножения: от перестановки множителей произведение не меняется ($a \times b = b \times a$).

Ответ: эти величины равны.

944. a) Уменьшите 900 р. на $\frac{1}{3}$ этой суммы.

б) Увеличьте 150 р. на $\frac{2}{5}$ этой суммы.

а) Чтобы уменьшить 900 р. на $\frac{1}{3}$ этой суммы, необходимо сначала найти, чему равна одна треть от 900 р., а затем вычесть полученное значение из исходной суммы.

1. Находим $\frac{1}{3}$ от 900 р. Для этого умножаем 900 на $\frac{1}{3}$:

$900 \cdot \frac{1}{3} = \frac{900}{3} = 300$ р.

2. Уменьшаем 900 р. на 300 р.:

$900 - 300 = 600$ р.

Ответ: 600 р.

б) Чтобы увеличить 150 р. на $\frac{2}{5}$ этой суммы, необходимо сначала найти, чему равны две пятых от 150 р., а затем прибавить полученное значение к исходной сумме.

1. Находим $\frac{2}{5}$ от 150 р. Для этого умножаем 150 на $\frac{2}{5}$:

$150 \cdot \frac{2}{5} = \frac{150 \cdot 2}{5} = \frac{300}{5} = 60$ р.

2. Увеличиваем 150 р. на 60 р.:

$150 + 60 = 210$ р.

Ответ: 210 р.

945. Число 200 увеличили на $ \frac{1}{10} $ этого числа, полученный результат уменьшили на его $ \frac{1}{10} $. Получилось ли снова число 200? Проверьте.

Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить вычисления по шагам.

1. Увеличим число 200 на $\frac{1}{10}$ этого числа.

Сначала найдем, чему равна $\frac{1}{10}$ от числа 200. Для этого умножим 200 на $\frac{1}{10}$:
$200 \cdot \frac{1}{10} = \frac{200}{10} = 20$

Теперь увеличим число 200 на найденное значение:
$200 + 20 = 220$
Таким образом, полученный результат после первого действия равен 220.

2. Уменьшим полученный результат на его $\frac{1}{10}$.

Теперь необходимо найти $\frac{1}{10}$ от нового числа, то есть от 220:
$220 \cdot \frac{1}{10} = \frac{220}{10} = 22$

Уменьшим число 220 на это значение:
$220 - 22 = 198$
Итоговый результат равен 198.

3. Проверим, получилось ли снова число 200.

Сравним итоговый результат (198) с исходным числом (200):
$198 \neq 200$
Число 200 снова не получилось. Это связано с тем, что $\frac{1}{10}$, на которую мы увеличивали, вычислялась от 200 (и была равна 20), а $\frac{1}{10}$, на которую мы уменьшали, вычислялась от большего числа 220 (и была равна 22).

Ответ: Нет, снова число 200 не получилось. В результате вычислений получилось число 198.

946. а) Найдите число, $ \frac{2}{5} $ которого равны 60.

б) Найдите число, $ \frac{3}{11} $ которого равны 99.

а) Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби разделить на саму дробь. По условию, $\frac{2}{5}$ искомого числа равны 60. Пусть искомое число — это $x$. Тогда можно составить уравнение:

$\frac{2}{5} \cdot x = 60$

Чтобы найти $x$, нужно 60 разделить на дробь $\frac{2}{5}$. Деление на дробь — это то же самое, что умножение на обратную ей дробь:

$x = 60 \div \frac{2}{5} = 60 \cdot \frac{5}{2}$

Выполним вычисление:

$x = \frac{60 \cdot 5}{2} = \frac{300}{2} = 150$

Проверка: $\frac{2}{5}$ от 150 — это $150 \cdot \frac{2}{5} = \frac{150 \cdot 2}{5} = 30 \cdot 2 = 60$. Верно.

Ответ: 150

б) В этом случае нам нужно найти число, $\frac{3}{11}$ которого равны 99. Пусть искомое число — это $y$. Составим уравнение:

$\frac{3}{11} \cdot y = 99$

Чтобы найти $y$, разделим 99 на дробь $\frac{3}{11}$:

$y = 99 \div \frac{3}{11} = 99 \cdot \frac{11}{3}$

Выполним вычисление, предварительно сократив 99 и 3:

$y = \frac{99 \cdot 11}{3} = 33 \cdot 11 = 363$

Проверка: $\frac{3}{11}$ от 363 — это $363 \cdot \frac{3}{11} = \frac{363 \cdot 3}{11} = 33 \cdot 3 = 99$. Верно.

Ответ: 363

947. a) За 4 дня похода израсходовали ${2 \over 5}$ всех запасённых продуктов. На сколько дней было запасено продуктов?

б) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составляли ${3 \over 5}$ всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке?

а)

Из условия задачи известно, что за 4 дня было израсходовано $\frac{2}{5}$ всех продуктов. Это значит, что 4 дня соответствуют $\frac{2}{5}$ от общего количества дней, на которое были рассчитаны запасы. Чтобы найти общее количество дней (целое), зная его часть, нужно эту часть (4 дня) разделить на дробь, которую она составляет ($\frac{2}{5}$).

Вычислим общее количество дней:

$4 : \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$ (дней).

Таким образом, продуктов было запасено на 10 дней.
Ответ: на 10 дней.

б)

По условию, на стоянке было 15 автомобилей «Жигули», и это количество составляет $\frac{3}{5}$ от всех автомашин на стоянке. Чтобы найти общее число автомашин (целое), необходимо количество «Жигулей» (часть) разделить на долю, которую они составляют (дробь).

Найдем общее количество автомашин:

$15 : \frac{3}{5} = 15 \cdot \frac{5}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$ (автомашин).

Следовательно, всего на стоянке было 25 автомашин.
Ответ: 25 автомашин.

948. a) Число уменьшили на $\frac{3}{10}$ этого числа, получилось 210. Найдите число.

б) Задумали число, увеличили его на $\frac{1}{7}$ этого числа и получили 56. Какое число задумали?

а)

Пусть искомое число равно $x$.
Когда число уменьшают на $\frac{3}{10}$ этого числа, это значит, что от целого (которое можно представить как $1$ или $\frac{10}{10}$) отнимают $\frac{3}{10}$.
Найдем, какая часть числа осталась:
$1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$
Значит, $\frac{7}{10}$ от первоначального числа равны 210.
Чтобы найти всё число по его части, нужно значение этой части (210) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{7}{10}$).
$x = 210 : \frac{7}{10} = 210 \cdot \frac{10}{7} = \frac{210 \cdot 10}{7} = 30 \cdot 10 = 300$
Первоначальное число равно 300.
Ответ: 300.

б)

Пусть задуманное число равно $y$.
Когда число увеличивают на $\frac{1}{7}$ этого числа, это значит, что к целому (которое можно представить как $1$ или $\frac{7}{7}$) прибавляют $\frac{1}{7}$.
Найдем, какая часть от первоначального числа получилась в итоге:
$1 + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$
Значит, $\frac{8}{7}$ от задуманного числа равны 56.
Чтобы найти всё число по его части, нужно значение этой части (56) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{8}{7}$).
$y = 56 : \frac{8}{7} = 56 \cdot \frac{7}{8} = \frac{56 \cdot 7}{8} = 7 \cdot 7 = 49$
Задуманное число равно 49.
Ответ: 49.

949. Столб вкопали в землю на $ \frac{1}{3} $ его длины. Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите длину столба.

Обозначим общую длину столба переменной $L$.

Согласно условию, в землю вкопана часть столба, равная $\frac{1}{3}$ его длины. Следовательно, часть столба, которая осталась над землей, составляет:$L - \frac{1}{3}L = \frac{3}{3}L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L$

Из условия известно, что высота столба над землей равна 2 м 30 см. Для удобства расчетов переведем эту величину в одну единицу измерения, например, в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров, поэтому:2 м 30 см = $2 \times 100$ см + 30 см = 200 см + 30 см = 230 см.

Теперь мы знаем, что $\frac{2}{3}$ длины столба равны 230 см. Составим уравнение:$\frac{2}{3}L = 230$

Чтобы найти полную длину столба $L$, решим это уравнение:$L = 230 \div \frac{2}{3}$$L = 230 \times \frac{3}{2}$$L = \frac{690}{2}$$L = 345$ см

Переведем полученную длину обратно в метры и сантиметры:345 см = 3 м 45 см.

Ответ: 3 м 45 см.

950. а) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал $ \frac{2}{5} $, после обеда — $ \frac{1}{3} $ привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин?

б) Некто израсходовал половину своих денег и $ \frac{1}{3} $ остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально?

а)

1. Сначала найдем, какую часть от всех привезенных арбузов магазин продал за весь день. Для этого сложим часть, проданную до обеда, и часть, проданную после обеда.

$ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 15:

$ \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} $

Итак, всего было продано $ \frac{11}{15} $ всех арбузов.

2. Теперь определим, какая часть арбузов осталась. Для этого вычтем из общего количества (принятого за 1) проданную часть:

$ 1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} $

Осталось продать $ \frac{4}{15} $ от общего количества арбузов.

3. Из условия задачи мы знаем, что эта оставшаяся часть составляет 80 арбузов. Чтобы найти общее количество арбузов (целое), нужно число (80) разделить на соответствующую ему дробь ($ \frac{4}{15} $):

$ 80 \div \frac{4}{15} = 80 \cdot \frac{15}{4} = \frac{80 \cdot 15}{4} = 20 \cdot 15 = 300 $ (арбузов)

Ответ: в магазин привезли 300 арбузов.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца.

1. В самом конце у человека осталось 6 рублей. Эта сумма осталась после того, как он израсходовал $ \frac{1}{3} $ от остатка. Следовательно, 6 рублей представляют собой оставшуюся часть от этого остатка, то есть:

$ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

Таким образом, 6 рублей — это $ \frac{2}{3} $ от суммы, которая была у человека перед второй тратой.

2. Найдем, сколько денег было перед второй тратой. Если 6 рублей — это $ \frac{2}{3} $, то вся сумма (целое) равна:

$ 6 \div \frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 $ (рублей)

Итак, после того как он израсходовал половину своих денег, у него осталось 9 рублей.

3. Эти 9 рублей являются второй половиной от первоначальной суммы. Значит, чтобы найти первоначальную сумму, нужно 9 умножить на 2:

$ 9 \cdot 2 = 18 $ (рублей)

Ответ: первоначально у него было 18 рублей.