Страница 212 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

955. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч, через вторую — за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?

б) За каждый час первая труба наполняет $\frac{1}{3}$ бассейна, а вторая — $\frac{1}{6}$ бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч? За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы?

в) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую — за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?

а)

Чтобы узнать, какую часть бассейна наполняет труба за 1 час, нужно единицу (весь бассейн) разделить на время, за которое она его наполняет.

1. Производительность первой трубы:
Если первая труба наполняет весь бассейн за 3 часа, то за 1 час она наполнит $1 : 3 = \frac{1}{3}$ часть бассейна.

2. Производительность второй трубы:
Если вторая труба наполняет весь бассейн за 6 часов, то за 1 час она наполнит $1 : 6 = \frac{1}{6}$ часть бассейна.

Ответ: первая труба за 1 час наполнит $\frac{1}{3}$ бассейна, а вторая — $\frac{1}{6}$ бассейна.

б)

1. Чтобы найти, какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 час, нужно сложить их производительности (части бассейна, которые они наполняют за 1 час):
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$

Сократим дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Таким образом, за 1 час обе трубы вместе наполнят $\frac{1}{2}$ бассейна.

2. Чтобы найти, за сколько часов наполнится весь бассейн, нужно единицу (весь бассейн) разделить на общую производительность: $1 : \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$ часа.

Ответ: за 1 час обе трубы наполнят $\frac{1}{2}$ бассейна; весь бассейн наполнится за 2 часа.

в)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Сначала найдем производительность каждой трубы, а затем их общую производительность.

1. Производительность первой трубы: $\frac{1}{10}$ бака в минуту.
Производительность второй трубы: $\frac{1}{15}$ бака в минуту.

2. Найдем общую производительность, сложив их скорости. Общий знаменатель для 10 и 15 — это 30:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30}$

Сократим полученную дробь: $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$
Это значит, что обе трубы вместе за 1 минуту наполняют $\frac{1}{6}$ часть бака.

3. Теперь найдем время, за которое наполнится весь бак. Для этого разделим весь объем (1) на общую производительность: $1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6$ минут.

Ответ: через обе трубы бак можно наполнить за 6 минут.