Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

956. Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Примем все расстояние между городами за 1 (единицу).

1. Скорость первого путешественника.
Первый путешественник проходит весь путь за 10 дней, значит, его скорость (часть пути, проходимая за один день) составляет $1/10$ пути в день.

2. Скорость второго путешественника.
Второй путешественник проходит весь путь за 15 дней, значит, его скорость составляет $1/15$ пути в день.

3. Скорость сближения.
Поскольку путешественники идут навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем общую скорость сближения, сложив их скорости:

$v_{сбл} = 1/10 + 1/15$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30.

$1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30$

Сократим полученную дробь:

$5/30 = 1/6$

Таким образом, за один день путешественники сближаются на $1/6$ всего пути.

4. Время до встречи.
Чтобы найти, через сколько дней они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения ($1/6$):

$t = 1 / (1/6) = 1 * 6 = 6$ (дней)

Ответ: путешественники встретятся через 6 дней.

957. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб?

б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

а)

Для решения задачи на совместную работу, примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность (скорость наполнения) каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени.

Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{20}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{30}$ бассейна в час.

2. При совместной работе производительности складываются. Найдем общую производительность двух труб:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

$P_{общ} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 20} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ бассейна в час.

3. Чтобы найти время, за которое бассейн наполнится при совместной работе, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

б)

Эта задача аналогична предыдущей. Примем всю работу по уборке класса за 1.

1. Найдем производительность каждого ученика.

Производительность первого ученика: $P_1 = \frac{1}{20}$ класса в минуту.

Производительность второго ученика: $P_2 = \frac{1}{30}$ класса в минуту.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ класса в минуту.

3. Найдем общее время на уборку, разделив работу на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

в)

Эту задачу можно решить, используя тот же подход. Примем расстояние между городами за 1.

1. Скорость каждого автомобиля — это часть расстояния, которую он проезжает за час.

Скорость грузовой машины: $v_г = \frac{1}{30}$ расстояния в час.

Скорость легковой машины: $v_л = \frac{1}{20}$ расстояния в час.

2. Так как машины едут навстречу друг другу, их скорости сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_г + v_л = \frac{1}{30} + \frac{1}{20}$

Сумма этих дробей нам уже известна из предыдущих пунктов:

$v_{сбл} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ расстояния в час.

3. Время до встречи ($t$) можно найти, разделив все расстояние (1) на скорость сближения:

$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

958. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит этого корма и уткам, и гусям вместе.

Для решения этой задачи примем весь привезенный корм за 1 (единицу).

1. Определим, какую часть корма съедают утки за один день. Поскольку всего корма им хватило бы на 30 дней, то за один день они съедают $\frac{1}{30}$ часть всего корма.

2. Аналогично определим, какую часть корма съедают гуси за один день. Им всего корма хватило бы на 45 дней, следовательно, за один день они съедают $\frac{1}{45}$ часть всего корма.

3. Теперь найдем, какую часть корма утки и гуси съедят вместе за один день. Для этого нужно сложить их дневные нормы потребления:

$\frac{1}{30} + \frac{1}{45}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 30 и 45 — это 90. Дополнительный множитель для первой дроби равен $90 \div 30 = 3$, а для второй — $90 \div 45 = 2$.

$\frac{1 \cdot 3}{30 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{3+2}{90} = \frac{5}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{90} = \frac{1}{18}$

Таким образом, вместе утки и гуси за один день съедают $\frac{1}{18}$ часть всего корма.

4. Чтобы рассчитать, на сколько дней хватит всего корма, нужно весь корм (1) разделить на ту часть, которую птицы съедают вместе за один день ($\frac{1}{18}$):

$1 \div \frac{1}{18} = 1 \cdot \frac{18}{1} = 18$ (дней).

Ответ: этого корма уткам и гусям вместе хватит на 18 дней.

959. Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы только второго цеха?

Для решения задачи примем весь объем заготовленных материалов за 1 (единицу). Производительность цеха — это часть материалов, которую он расходует за один день.

1. Найдем производительность первого цеха.
По условию, первый цех может израсходовать все материалы за 15 дней. Следовательно, его производительность (скорость расходования материалов) составляет $\frac{1}{15}$ всего объема в день.
$p_1 = \frac{1}{15}$

2. Найдем совместную производительность двух цехов.
Два цеха вместе расходуют все материалы за 10 дней. Значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{10}$ всего объема в день.
$p_1 + p_2 = \frac{1}{10}$

3. Найдем производительность второго цеха.
Чтобы найти производительность второго цеха, нужно из совместной производительности вычесть производительность первого цеха:
$p_2 = (p_1 + p_2) - p_1 = \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$p_2 = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}$
Таким образом, второй цех в день расходует $\frac{1}{30}$ часть всех материалов.

4. Рассчитаем, на сколько дней хватит материалов для второго цеха.
Если за один день второй цех расходует $\frac{1}{30}$ всех материалов, то для расходования всего объема (1) ему потребуется:
$T = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 30$ дней.

Ответ: для работы только второго цеха материалов хватило бы на 30 дней.

960. Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Для решения задачи примем всю работу по вспахиванию поля за 1.

1. Определим производительность двух трактористов при совместной работе. Если всю работу они выполняют за 6 часов, то за 1 час они выполняют:

$P_{общ} = \frac{1}{6}$ часть поля в час.

2. Определим производительность первого тракториста. По условию, он может выполнить всю работу за 10 часов, значит его производительность составляет:

$P_1 = \frac{1}{10}$ часть поля в час.

3. Общая производительность равна сумме производительностей каждого тракториста ($P_{общ} = P_1 + P_2$). Чтобы найти производительность второго тракториста ($P_2$), вычтем из общей производительности производительность первого:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P_2 = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ часть поля в час.

4. Теперь найдем время, за которое второй тракторист сможет вспахать поле в одиночку. Для этого разделим всю работу (1) на производительность второго тракториста:

$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

Ответ: 15 часов.

961. Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?

Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, нужно найти производительность каждого печника (какую часть работы он выполняет за 1 час).

1. Примем всю работу по постройке печи за 1 (единицу).

2. Производительность двух печников, работающих вместе, составляет $1/16$ часть печи в час, так как они выполняют всю работу за 16 часов.

3. Производительность первого печника, работающего в одиночку, составляет $1/24$ часть печи в час, так как он выполняет всю работу за 24 часа.

4. Чтобы найти производительность второго печника, нужно из общей производительности вычесть производительность первого печника. Обозначим производительность второго печника как $P_2$.

$P_2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{24}$

5. Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 16 и 24 — это 48.

$P_2 = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48}$

Таким образом, производительность второго печника — $1/48$ часть печи в час.

6. Зная производительность второго печника, можно найти время, за которое он сложит печь, работая один. Для этого нужно всю работу (1) разделить на его производительность:

Время = $\frac{Работа}{Производительность} = \frac{1}{1/48} = 48$ часов.

Ответ: 48 часов.