Страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

924. Найдите частное и проверьте ответ умножением:

a) $80 : 2$;

б) $100 : 25$;

в) $1000 : 8$;

г) $121 : 11$;

д) $625 : 25$.

а)

1. Найдем частное, выполнив деление:

$80 : 2 = 40$

2. Проверим результат умножением частного на делитель. Должно получиться делимое.

$40 \times 2 = 80$

Проверка выполнена, результат верный.

Ответ: 40

б)

1. Найдем частное, выполнив деление:

$100 : 25 = 4$

2. Проверим результат умножением частного на делитель:

$4 \times 25 = 100$

Проверка выполнена, результат верный.

Ответ: 4

в)

1. Найдем частное, выполнив деление:

$1000 : 8 = 125$

2. Проверим результат умножением частного на делитель:

$125 \times 8 = 1000$

Проверка выполнена, результат верный.

Ответ: 125

г)

1. Найдем частное, выполнив деление:

$121 : 11 = 11$

2. Проверим результат умножением частного на делитель:

$11 \times 11 = 121$

Проверка выполнена, результат верный.

Ответ: 11

д)

1. Найдем частное, выполнив деление:

$625 : 25 = 25$

2. Проверим результат умножением частного на делитель:

$25 \times 25 = 625$

Проверка выполнена, результат верный.

Ответ: 25

925. Вычислите частное и проверьте ответ умножением:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3};$

б) $\frac{1}{2} : \frac{1}{4};$

в) $\frac{1}{8} : \frac{1}{4};$

г) $\frac{1}{4} : \frac{4}{5};$

д) $\frac{8}{9} : \frac{4}{21};$

е) $\frac{16}{25} : \frac{24}{35};$

ж) $\frac{52}{81} : \frac{26}{27};$

з) $\frac{100}{123} : \frac{75}{82}.$

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{1} = \frac{1 \times 3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $

Проверка умножением:

$ \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1\frac{1}{2} $

б)

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2 $

Проверка умножением:

$ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{1 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ 2 $

в)

Выполним деление:

$ \frac{1}{8} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{8 \times 1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Проверка умножением:

$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

г)

Вычислим частное:

$ \frac{1}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5}{16} $

Проверка умножением:

$ \frac{5}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{5 \times 4}{16 \times 5} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{5}{16} $

д)

Выполним деление, предварительно сократив множители:

$ \frac{8}{9} \div \frac{4}{21} = \frac{8}{9} \times \frac{21}{4} = \frac{8 \times 21}{9 \times 4} = \frac{2 \times 7}{3 \times 1} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $

Проверка умножением:

$ \frac{14}{3} \times \frac{4}{21} = \frac{14 \times 4}{3 \times 21} = \frac{(2 \times 7) \times 4}{3 \times (3 \times 7)} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $

Ответ: $ 4\frac{2}{3} $

е)

Вычислим частное, сократив дроби:

$ \frac{16}{25} \div \frac{24}{35} = \frac{16}{25} \times \frac{35}{24} = \frac{16 \times 35}{25 \times 24} = \frac{(2 \times 8) \times (5 \times 7)}{(5 \times 5) \times (3 \times 8)} = \frac{2 \times 7}{5 \times 3} = \frac{14}{15} $

Проверка умножением:

$ \frac{14}{15} \times \frac{24}{35} = \frac{14 \times 24}{15 \times 35} = \frac{(2 \times 7) \times (3 \times 8)}{(3 \times 5) \times (5 \times 7)} = \frac{2 \times 8}{5 \times 5} = \frac{16}{25} $

Ответ: $ \frac{14}{15} $

ж)

Выполним деление, сократив числитель и знаменатель:

$ \frac{52}{81} \div \frac{26}{27} = \frac{52}{81} \times \frac{27}{26} = \frac{52 \times 27}{81 \times 26} = \frac{2 \times 1}{3 \times 1} = \frac{2}{3} $

Проверка умножением:

$ \frac{2}{3} \times \frac{26}{27} = \frac{2 \times 26}{3 \times 27} = \frac{52}{81} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

з)

Вычислим частное:

$ \frac{100}{123} \div \frac{75}{82} = \frac{100}{123} \times \frac{82}{75} = \frac{(4 \times 25) \times (2 \times 41)}{(3 \times 41) \times (3 \times 25)} = \frac{4 \times 2}{3 \times 3} = \frac{8}{9} $

Проверка умножением:

$ \frac{8}{9} \times \frac{75}{82} = \frac{8 \times 75}{9 \times 82} = \frac{(4 \times 2) \times (3 \times 25)}{(3 \times 3) \times (2 \times 41)} = \frac{4 \times 25}{3 \times 41} = \frac{100}{123} $

Ответ: $ \frac{8}{9} $

926. Назовите делимое и делитель, дробь, обратную делителю, и замените деление умножением на дробь, обратную делителю. Вычислите полученное произведение.

а) $ \frac{1}{6} : \frac{1}{2} $

б) $ \frac{1}{3} : \frac{1}{6} $

в) $ \frac{3}{7} : \frac{6}{7} $

г) $ \frac{8}{9} : \frac{4}{3} $

д) $ \frac{15}{16} : \frac{10}{24} $

е) $ \frac{15}{17} : \frac{25}{34} $

ж) $ \frac{32}{75} : \frac{48}{25} $

з) $ \frac{38}{75} : \frac{19}{100} $

и) $ \frac{1}{2} : 2 $

к) $ \frac{2}{5} : 3 $

л) $ 3 : \frac{1}{2} $

м) $ 8 : \frac{4}{5} $

а) В выражении $ \frac{1}{6} : \frac{1}{2} $ делимое - $ \frac{1}{6} $, делитель - $ \frac{1}{2} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{2}{1} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Ответ: $ \frac{1}{3} $

б) В выражении $ \frac{1}{3} : \frac{1}{6} $ делимое - $ \frac{1}{3} $, делитель - $ \frac{1}{6} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{6}{1} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 1} = \frac{6}{3} = 2 $. Ответ: $ 2 $

в) В выражении $ \frac{3}{7} : \frac{6}{7} $ делимое - $ \frac{3}{7} $, делитель - $ \frac{6}{7} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{7}{6} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} $

г) В выражении $ \frac{8}{9} : \frac{4}{3} $ делимое - $ \frac{8}{9} $, делитель - $ \frac{4}{3} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{3}{4} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $. Ответ: $ \frac{2}{3} $

д) В выражении $ \frac{15}{16} : \frac{10}{24} $ делимое - $ \frac{15}{16} $, делитель - $ \frac{10}{24} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{24}{10} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{15}{16} \cdot \frac{24}{10} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} $. Ответ: $ 2\frac{1}{4} $

е) В выражении $ \frac{15}{17} : \frac{25}{34} $ делимое - $ \frac{15}{17} $, делитель - $ \frac{25}{34} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{34}{25} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{15}{17} \cdot \frac{34}{25} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $. Ответ: $ 1\frac{1}{5} $

ж) В выражении $ \frac{32}{75} : \frac{48}{25} $ делимое - $ \frac{32}{75} $, делитель - $ \frac{48}{25} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{25}{48} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{32}{75} \cdot \frac{25}{48} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9} $. Ответ: $ \frac{2}{9} $

з) В выражении $ \frac{38}{75} : \frac{19}{100} $ делимое - $ \frac{38}{75} $, делитель - $ \frac{19}{100} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{100}{19} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{38}{75} \cdot \frac{100}{19} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $. Ответ: $ 2\frac{2}{3} $

и) В выражении $ \frac{1}{2} : 2 $ делимое - $ \frac{1}{2} $, делитель - $ 2 $ (или $ \frac{2}{1} $). Дробь, обратная делителю, это $ \frac{1}{2} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} $. Ответ: $ \frac{1}{4} $

к) В выражении $ \frac{2}{5} : 3 $ делимое - $ \frac{2}{5} $, делитель - $ 3 $ (или $ \frac{3}{1} $). Дробь, обратная делителю, это $ \frac{1}{3} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15} $. Ответ: $ \frac{2}{15} $

л) В выражении $ 3 : \frac{1}{2} $ делимое - $ 3 $ (или $ \frac{3}{1} $), делитель - $ \frac{1}{2} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{2}{1} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ 3 \cdot 2 = 6 $. Ответ: $ 6 $

м) В выражении $ 8 : \frac{4}{5} $ делимое - $ 8 $ (или $ \frac{8}{1} $), делитель - $ \frac{4}{5} $. Дробь, обратная делителю, это $ \frac{5}{4} $. Заменим деление умножением на обратную дробь и вычислим произведение: $ 8 \cdot \frac{5}{4} = \frac{8 \cdot 5}{4} = 2 \cdot 5 = 10 $. Ответ: $ 10 $

927. Найдите число $x$, для которого равенство верно:

а) $x \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15}$;

б) $x : \frac{2}{7} = \frac{7}{12}$;

В) $\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$;

Г) $\frac{7}{9} : x = \frac{7}{18}$;

Д) $x : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$;

е) $\frac{12}{25} : x = \frac{3}{5}$.

а) $x \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15}$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение разделить на известный множитель:

$x = \frac{4}{15} : \frac{3}{5}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$x = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 3}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 5:

$x = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $x = \frac{4}{9}$.

б) $x : \frac{2}{7} = \frac{7}{12}$

Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное умножить на делитель:

$x = \frac{7}{12} \cdot \frac{2}{7}$

$x = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 7}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 7, а также на 2:

$x = \frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

в) $\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение разделить на известный множитель:

$x = \frac{4}{7} : \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 2}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$

Ответ: $x = \frac{6}{7}$.

г) $\frac{7}{9} : x = \frac{7}{18}$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:

$x = \frac{7}{9} : \frac{7}{18}$

$x = \frac{7}{9} \cdot \frac{18}{7} = \frac{7 \cdot 18}{9 \cdot 7}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 7, а также на 9:

$x = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$

Ответ: $x = 2$.

д) $x : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное умножить на делитель:

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$x = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

е) $\frac{12}{25} : x = \frac{3}{5}$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:

$x = \frac{12}{25} : \frac{3}{5}$

$x = \frac{12}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{25 \cdot 3}$

Сокращаем 12 и 3 на 3, а 25 и 5 на 5:

$x = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

928. а) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной $\frac{1}{10}$ м. Сколько таких частей получилось?

б) 1 кг кофе рассыпали в пакеты по $\frac{1}{4}$ кг. Сколько таких пакетов получилось?

в) 1 кг чая рассыпали в пакеты по $\frac{1}{5}$ кг. Сколько таких пакетов получилось?

г) За 1 ч выполняют $\frac{1}{3}$ некоторой работы. За сколько часов выполнят всю работу?

д) Два путника одновременно вышли навстречу друг другу из двух сёл. За 1 ч они проходят $\frac{1}{4}$ расстояния между сёлами. Через сколько часов путники встретятся?

а) Чтобы найти, сколько получилось частей, нужно общую длину отрезка разделить на длину одной части. Общая длина отрезка составляет 1 м, а длина каждой равной части — $\frac{1}{10}$ м.
Выполним деление: $1 \div \frac{1}{10} = 1 \times \frac{10}{1} = 10$.
Следовательно, получилось 10 частей.
Ответ: 10 частей.

б) Чтобы найти количество пакетов, нужно общую массу кофе разделить на массу кофе в одном пакете. Общая масса кофе — 1 кг, а масса в одном пакете — $\frac{1}{4}$ кг.
Выполним деление: $1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4$.
Следовательно, получилось 4 пакета.
Ответ: 4 пакета.

в) Чтобы найти количество пакетов, нужно общую массу чая разделить на массу чая в одном пакете. Общая масса чая — 1 кг, а масса в одном пакете — $\frac{1}{5}$ кг.
Выполним деление: $1 \div \frac{1}{5} = 1 \times \frac{5}{1} = 5$.
Следовательно, получилось 5 пакетов.
Ответ: 5 пакетов.

г) Примем всю работу за 1. Известно, что за 1 час выполняется $\frac{1}{3}$ всей работы. Чтобы найти общее время, необходимое для выполнения всей работы, нужно всю работу (1) разделить на часть работы, выполняемую за единицу времени (за 1 час).
Выполним деление: $1 \div \frac{1}{3} = 1 \times \frac{3}{1} = 3$.
Следовательно, вся работа будет выполнена за 3 часа.
Ответ: 3 часа.

д) Примем всё расстояние между сёлами за 1. За 1 час путники вместе проходят $\frac{1}{4}$ этого расстояния. Это их общая скорость сближения. Чтобы найти время, через которое они встретятся, нужно всё расстояние (1) разделить на их скорость сближения.
Выполним деление: $1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4$.
Следовательно, путники встретятся через 4 часа.
Ответ: 4 часа.

929. а) Верёвку, длина которой 20 м, разрезали на 3 равные части. Какова длина каждой части?

б) Рыболовную леску, длина которой 11 м, разрезали на 4 равные части. Какова длина каждой части?

а) Для того чтобы найти длину каждой из трёх равных частей, необходимо общую длину верёвки разделить на количество частей.

Дано:

• Общая длина верёвки: 20 м
• Количество частей: 3

Выполним деление:

$20 \div 3 = \frac{20}{3}$ м

Чтобы представить результат в виде смешанного числа, выделим целую часть. Разделим 20 на 3 с остатком:

$20 \div 3 = 6$ (остаток 2)

Таким образом, неправильная дробь $\frac{20}{3}$ равна смешанному числу $6\frac{2}{3}$.

Длина каждой части верёвки составляет $6\frac{2}{3}$ метра.

Ответ: $6\frac{2}{3}$ м.

б) Для того чтобы найти длину каждой из четырёх равных частей, необходимо общую длину лески разделить на количество частей.

Дано:

• Общая длина лески: 11 м
• Количество частей: 4

Выполним деление:

$11 \div 4 = \frac{11}{4}$ м

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{11}{4}$. Разделим 11 на 4 с остатком:

$11 \div 4 = 2$ (остаток 3)

Таким образом, неправильная дробь $\frac{11}{4}$ равна смешанному числу $2\frac{3}{4}$.

Этот результат также можно представить в виде десятичной дроби: $2\frac{3}{4} = 2,75$.

Длина каждой части лески составляет $2\frac{3}{4}$ метра.

Ответ: $2\frac{3}{4}$ м.