Страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

951. Из бочки вылили $\frac{1}{2}$ находившейся в ней воды, потом $\frac{1}{2}$ остатка, потом $\frac{1}{2}$ нового остатка. Какую часть воды вылили?

Для решения задачи можно использовать два способа. Примем первоначальный объем воды в бочке за 1.

Способ 1: Последовательное сложение вылитых частей

1. В первый раз вылили $\frac{1}{2}$ от всего объема воды.

2. После этого в бочке осталось $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ воды. Во второй раз вылили половину от этого остатка, то есть вылили еще:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ от первоначального объема.

3. После второго раза в бочке остался новый остаток: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ воды. В третий раз вылили половину от этого нового остатка, то есть вылили:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ от первоначального объема.

4. Чтобы найти, какую часть воды вылили всего, сложим все вылитые части:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{1 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

Способ 2: Вычисление через конечный остаток

1. После первого выливания в бочке осталась $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ часть воды.

2. Во второй раз вылили половину остатка, значит, в бочке осталась другая половина остатка:
$\frac{1}{2} \text{ от } \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ часть воды осталась в бочке.

3. В третий раз вылили половину нового остатка, значит, в бочке осталась другая половина нового остатка:
$\frac{1}{2} \text{ от } \frac{1}{4} \implies \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ часть воды осталась в бочке в итоге.

4. Если в бочке осталась $\frac{1}{8}$ часть воды, то вылитая часть составляет разницу между первоначальным объемом (1) и конечным остатком:
$1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{7}{8}$

952. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третья доля этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвёртую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

Решение

Для решения этой задачи давайте обозначим общее количество цветков лотоса через переменную $x$.

Согласно условию, цветки были распределены следующим образом:
- Шиве была пожертвована третья доля: $\frac{1}{3}x$
- Вишну – пятая доля: $\frac{1}{5}x$
- Солнцу – шестая доля: $\frac{1}{6}x$
- Бхавани получил четвертую долю: $\frac{1}{4}x$
- Учитель получил оставшиеся 6 цветков.

Сначала найдем, какая общая доля цветков была отдана Шиве, Вишну, Солнцу и Бхавани. для этого сложим соответствующие дроби:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3, 5, 6 и 4 равно 60.

$\frac{1 \cdot 20}{60} + \frac{1 \cdot 12}{60} + \frac{1 \cdot 10}{60} + \frac{1 \cdot 15}{60} = \frac{20 + 12 + 10 + 15}{60} = \frac{57}{60}$

Таким образом, $\frac{57}{60}$ всех цветков были розданы. Оставшаяся часть, которую получил учитель, составляет:

$1 - \frac{57}{60} = \frac{60}{60} - \frac{57}{60} = \frac{3}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Итак, учитель получил $\frac{1}{20}$ от общего количества цветков. По условию, это составляет 6 цветков. Мы можем составить уравнение:

$\frac{1}{20}x = 6$

Теперь найдем общее количество цветков $x$:

$x = 6 \cdot 20 = 120$

Всего было 120 цветков лотоса.

Ответ: 120 цветков.

953. Капитан на вопрос «Сколько у него в команде людей?» отвечал, что $\frac{2}{5}$ его команды в карауле, $\frac{2}{7}$ в работе, $\frac{1}{4}$ в лазарете да ещё 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды.

Пусть $x$ — общее число людей в команде. Согласно условию, команда состоит из нескольких частей: $\frac{2}{5}$ находятся в карауле, $\frac{2}{7}$ — в работе, $\frac{1}{4}$ — в лазарете, и ещё 27 человек налицо. Сумма всех этих частей равна общему числу людей в команде, что можно выразить уравнением:

$\frac{2}{5}x + \frac{2}{7}x + \frac{1}{4}x + 27 = x$

Для решения найдем, какую долю от всей команды составляют люди в карауле, в работе и в лазарете вместе. Для этого сложим соответствующие дроби, приведя их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 7 и 4 равно $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{7} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 28}{140} + \frac{2 \cdot 20}{140} + \frac{1 \cdot 35}{140} = \frac{56 + 40 + 35}{140} = \frac{131}{140}$

Таким образом, $\frac{131}{140}$ всей команды была занята. Оставшаяся часть команды — это 27 человек, которые были налицо. Найдем, какую долю от всей команды они составляют, вычитая занятую часть из целого (1):

$1 - \frac{131}{140} = \frac{140}{140} - \frac{131}{140} = \frac{9}{140}$

Это означает, что 27 человек составляют $\frac{9}{140}$ от всей команды. Теперь мы можем найти общее число людей $x$, зная, что $\frac{9}{140}$ от $x$ равно 27.

$\frac{9}{140}x = 27$

Чтобы найти $x$, нужно 27 разделить на дробь $\frac{9}{140}$:

$x = 27 : \frac{9}{140} = 27 \cdot \frac{140}{9} = \frac{27 \cdot 140}{9} = 3 \cdot 140 = 420$

Итак, всего в команде 420 человек.

Ответ: 420 человек.

954. Задача Герона Александрийского (I в.). Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить общую скорость, с которой обе трубы наполняют бассейн, а затем разделить общий объем бассейна на эту скорость, чтобы найти время.

1. Находим совместную скорость наполнения бассейна.
Скорость первой трубы: $v_1 = 1$ кубическая единица в час.
Скорость второй трубы: $v_2 = 4$ кубические единицы в час.
Когда обе трубы работают вместе, их скорости складываются:
$v_{общая} = v_1 + v_2 = 1 + 4 = 5$ кубических единиц в час.

2. Находим время, необходимое для наполнения бассейна.
Объем бассейна (V) составляет $12$ кубических единиц.
Время (t) находится по формуле: $t = \frac{V}{v_{общая}}$.
Подставляем известные значения:
$t = \frac{12}{5} = 2.4$ часа.

3. Переводим время в более привычный формат (часы и минуты).
$2.4$ часа — это 2 целых часа и $0.4$ часа.
Чтобы перевести $0.4$ часа в минуты, нужно умножить это значение на 60 (так как в одном часе 60 минут):
$0.4 \times 60 = 24$ минуты.
Таким образом, время наполнения бассейна составляет 2 часа 24 минуты.

Ответ: Бассейн наполнится за $2.4$ часа, или за 2 часа 24 минуты.