Номер 951, страница 210 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

951. Из бочки вылили $\frac{1}{2}$ находившейся в ней воды, потом $\frac{1}{2}$ остатка, потом $\frac{1}{2}$ нового остатка. Какую часть воды вылили?

Для решения задачи можно использовать два способа. Примем первоначальный объем воды в бочке за 1.

Способ 1: Последовательное сложение вылитых частей

1. В первый раз вылили $\frac{1}{2}$ от всего объема воды.

2. После этого в бочке осталось $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ воды. Во второй раз вылили половину от этого остатка, то есть вылили еще:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ от первоначального объема.

3. После второго раза в бочке остался новый остаток: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ воды. В третий раз вылили половину от этого нового остатка, то есть вылили:
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ от первоначального объема.

4. Чтобы найти, какую часть воды вылили всего, сложим все вылитые части:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{1 \times 2}{4 \times 2} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

Способ 2: Вычисление через конечный остаток

1. После первого выливания в бочке осталась $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ часть воды.

2. Во второй раз вылили половину остатка, значит, в бочке осталась другая половина остатка:
$\frac{1}{2} \text{ от } \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ часть воды осталась в бочке.

3. В третий раз вылили половину нового остатка, значит, в бочке осталась другая половина нового остатка:
$\frac{1}{2} \text{ от } \frac{1}{4} \implies \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ часть воды осталась в бочке в итоге.

4. Если в бочке осталась $\frac{1}{8}$ часть воды, то вылитая часть составляет разницу между первоначальным объемом (1) и конечным остатком:
$1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{7}{8}$