Номер 957, страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

957. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб?

б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

а)

Для решения задачи на совместную работу, примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность (скорость наполнения) каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени.

Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{20}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{30}$ бассейна в час.

2. При совместной работе производительности складываются. Найдем общую производительность двух труб:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

$P_{общ} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 20} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ бассейна в час.

3. Чтобы найти время, за которое бассейн наполнится при совместной работе, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

б)

Эта задача аналогична предыдущей. Примем всю работу по уборке класса за 1.

1. Найдем производительность каждого ученика.

Производительность первого ученика: $P_1 = \frac{1}{20}$ класса в минуту.

Производительность второго ученика: $P_2 = \frac{1}{30}$ класса в минуту.

2. Найдем их общую производительность при совместной работе:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ класса в минуту.

3. Найдем общее время на уборку, разделив работу на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ минут.

Ответ: 12 минут.

в)

Эту задачу можно решить, используя тот же подход. Примем расстояние между городами за 1.

1. Скорость каждого автомобиля — это часть расстояния, которую он проезжает за час.

Скорость грузовой машины: $v_г = \frac{1}{30}$ расстояния в час.

Скорость легковой машины: $v_л = \frac{1}{20}$ расстояния в час.

2. Так как машины едут навстречу друг другу, их скорости сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_г + v_л = \frac{1}{30} + \frac{1}{20}$

Сумма этих дробей нам уже известна из предыдущих пунктов:

$v_{сбл} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ расстояния в час.

3. Время до встречи ($t$) можно найти, разделив все расстояние (1) на скорость сближения:

$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.