Номер 964, страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

964. a) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

б) Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвёртый — за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

а)

Это задача на совместную работу. Примем весь воз сена за 1 (единицу работы).
Сначала определим производительность (скорость поедания) каждого животного. Производительность — это количество работы, выполняемое за единицу времени (в данном случае, за 1 месяц).
1. Производительность лошади: раз она съедает 1 воз за 1 месяц, ее производительность равна $1 \div 1 = 1$ воза/месяц.
2. Производительность козы: съедает 1 воз за 2 месяца, значит, ее производительность равна $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ воза/месяц.
3. Производительность овцы: съедает 1 воз за 3 месяца, ее производительность равна $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ воза/месяц.

Чтобы найти общую производительность, когда они едят вместе, нужно сложить их индивидуальные производительности:
Общая производительность = $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$ воза/месяц.

Теперь, чтобы найти время, за которое они вместе съедят 1 воз сена, нужно разделить объем работы (1 воз) на их общую производительность:
Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Общая производительность}} = \frac{1}{\frac{11}{6}} = 1 \times \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: лошадь, коза и овца вместе съедят воз сена за $\frac{6}{11}$ месяца.

б)

Эта задача также решается через нахождение общей производительности. Примем постройку одного дома за 1 (единицу работы).
Определим годовую производительность каждого плотника:
1. Производительность первого плотника: $1 \div 1 = 1$ дома/год.
2. Производительность второго плотника: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ дома/год.
3. Производительность третьего плотника: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ дома/год.
4. Производительность четвертого плотника: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ дома/год.

Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их скорости:
Общая производительность = $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$ дома/год.

Чтобы найти время, за которое они вместе построят один дом, разделим объем работы (1 дом) на их общую производительность:
Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Общая производительность}} = \frac{1}{\frac{25}{12}} = 1 \times \frac{12}{25} = \frac{12}{25}$ года.

Ответ: при совместной работе они построят дом за $\frac{12}{25}$ года.