Номер 965, страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

965. Каким натуральным числом можно заменить букву $a$ в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.

Первая бригада может выполнить задание за 40 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за $a$ ч. За сколько часов эти бригады выполнят задание при совместной работе?

Время совместной работы $T$ определяется формулой: $T = \frac{40a}{40+a}$

Сначала выведем общую формулу для времени, за которое бригады выполнят задание при совместной работе. Примем весь объем работы за 1.

Производительность первой бригады, которая выполняет задание за 40 часов, составляет $P_1 = \frac{1}{40}$ работы в час.

Производительность второй бригады, которая выполняет задание за $a$ часов, составляет $P_2 = \frac{1}{a}$ работы в час.

При совместной работе их общая производительность равна сумме их производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{40} + \frac{1}{a}$.

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем: $P_{общ} = \frac{a}{40a} + \frac{40}{40a} = \frac{a+40}{40a}$.

Время $T$, за которое бригады выполнят задание при совместной работе, является величиной, обратной общей производительности: $T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+40}{40a}} = \frac{40a}{a+40}$ часов.

Теперь найдем, при каких натуральных значениях $a$ время $T$ также будет выражаться натуральным числом. Для этого преобразуем полученное выражение для $T$: $T = \frac{40(a+40) - 40 \cdot 40}{a+40} = \frac{40(a+40)}{a+40} - \frac{1600}{a+40} = 40 - \frac{1600}{a+40}$.

Чтобы время $T$ было натуральным числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{1600}{a+40}$ была целым числом, а результат вычитания был положительным. Это означает, что:
1. Выражение $(a+40)$ должно быть делителем числа 1600.
2. Результат $40 - \frac{1600}{a+40}$ должен быть больше 0. Это условие равносильно неравенству $40 > \frac{1600}{a+40}$, из которого следует $a+40 > 40$, или $a > 0$. Так как по условию $a$ — это время, выраженное натуральным числом, это условие всегда выполняется.

Таким образом, задача сводится к поиску таких натуральных чисел $a$, для которых сумма $(a+40)$ является делителем числа 1600 и при этом больше 40.

Найдем несколько таких чисел, выбирая подходящие делители для $(a+40)$:

• Пусть $a+40 = 50$. Тогда $a = 50 - 40 = 10$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{50} = 40 - 32 = 8$ часов.
• Пусть $a+40 = 64$. Тогда $a = 64 - 40 = 24$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{64} = 40 - 25 = 15$ часов.
• Пусть $a+40 = 80$. Тогда $a = 80 - 40 = 40$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{80} = 40 - 20 = 20$ часов.
• Пусть $a+40 = 100$. Тогда $a = 100 - 40 = 60$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{100} = 40 - 16 = 24$ часа.
• Пусть $a+40 = 160$. Тогда $a = 160 - 40 = 120$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{160} = 40 - 10 = 30$ часов.

Ответ: Чтобы ответ выражался натуральным числом, букву $a$ можно заменить, например, числами 10, 24, 40, 60, 120. При этих значениях время совместной работы составит соответственно 8, 15, 20, 24 и 30 часов.