Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

962. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в $B$. Через сколько минут после своего выхода из $B$ второй пришёл в $A$?

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода, вышедшего из пункта А, а $v_2$ — скорость второго пешехода, вышедшего из пункта В. Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В.

Пешеходы встретились через 40 минут. Обозначим место встречи как пункт C. До встречи первый пешеход прошел расстояние $S_{AC}$, а второй — $S_{BC}$.

Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи: $S_{AC} = v_1 \cdot 40$.

Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи: $S_{BC} = v_2 \cdot 40$.

После встречи первому пешеходу осталось пройти расстояние $S_{BC}$ до пункта B. По условию, он затратил на это 32 минуты. Таким образом:

$S_{BC} = v_1 \cdot 32$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для расстояния $S_{BC}$:

$v_2 \cdot 40 = v_1 \cdot 32$

Из этого уравнения найдем отношение скоростей пешеходов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$

Теперь найдем время, которое потребовалось второму пешеходу, чтобы дойти из пункта С (место встречи) в пункт А. Ему нужно было пройти расстояние $S_{AC}$, которое первый пешеход прошел за 40 минут ($S_{AC} = v_1 \cdot 40$).

Время второго пешехода на этом участке пути ($t_{C \to A}$):

$t_{C \to A} = \frac{S_{AC}}{v_2} = \frac{v_1 \cdot 40}{v_2} = 40 \cdot \frac{v_1}{v_2}$

Подставим найденное отношение скоростей:

$t_{C \to A} = 40 \cdot \frac{5}{4} = 10 \cdot 5 = 50$ минут.

Общее время в пути для второго пешехода равно времени до встречи (40 минут) плюс время после встречи (50 минут):

$T_2 = 40 + 50 = 90$ минут.

Ответ: 90 минут.

963. Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ — расстояние между пунктами A и B, $v_г$ — скорость грузовой машины, а $v_л$ — скорость легковой машины.

Из условия задачи известно, что грузовая машина до встречи ехала 2 часа, а после встречи — еще 3 часа. Таким образом, общее время, которое грузовая машина затратила на весь путь от А до В ($T_г$), составляет:
$T_г = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.

Все расстояние $S$ можно выразить через скорость и время движения грузовой машины:
$S = v_г \cdot T_г = 5v_г$.

Машины выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. За это время они суммарно проехали все расстояние $S$. Расстояние, пройденное грузовой машиной, равно $2v_г$, а легковой — $2v_л$. Следовательно:
$S = 2v_г + 2v_л$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для расстояния $S$, чтобы найти соотношение между скоростями автомобилей:
$5v_г = 2v_г + 2v_л$
$5v_г - 2v_г = 2v_л$
$3v_г = 2v_л$.
Отсюда выразим скорость легковой машины: $v_л = \frac{3}{2} v_г = 1.5 v_г$.

Время ($T_л$), которое легковая машина потратила на весь путь из В в А, вычисляется по формуле $T_л = \frac{S}{v_л}$. Подставим в нее ранее найденные выражения для $S$ и $v_л$:
$T_л = \frac{5v_г}{1.5 v_г}$.
Сократив $v_г$ в числителе и знаменателе, получаем:
$T_л = \frac{5}{1.5} = \frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \text{ часа}$.

Для удобства переведем это значение в часы и минуты:
$\frac{10}{3} \text{ часа} = 3 \frac{1}{3} \text{ часа}$.
Поскольку $\frac{1}{3}$ часа равна $20$ минутам ($\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$), то общее время в пути для легковой машины составляет 3 часа 20 минут.

Ответ: 3 часа 20 минут.

964. a) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

б) Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвёртый — за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

а)

Это задача на совместную работу. Примем весь воз сена за 1 (единицу работы).
Сначала определим производительность (скорость поедания) каждого животного. Производительность — это количество работы, выполняемое за единицу времени (в данном случае, за 1 месяц).
1. Производительность лошади: раз она съедает 1 воз за 1 месяц, ее производительность равна $1 \div 1 = 1$ воза/месяц.
2. Производительность козы: съедает 1 воз за 2 месяца, значит, ее производительность равна $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ воза/месяц.
3. Производительность овцы: съедает 1 воз за 3 месяца, ее производительность равна $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ воза/месяц.

Чтобы найти общую производительность, когда они едят вместе, нужно сложить их индивидуальные производительности:
Общая производительность = $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$ воза/месяц.

Теперь, чтобы найти время, за которое они вместе съедят 1 воз сена, нужно разделить объем работы (1 воз) на их общую производительность:
Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Общая производительность}} = \frac{1}{\frac{11}{6}} = 1 \times \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: лошадь, коза и овца вместе съедят воз сена за $\frac{6}{11}$ месяца.

б)

Эта задача также решается через нахождение общей производительности. Примем постройку одного дома за 1 (единицу работы).
Определим годовую производительность каждого плотника:
1. Производительность первого плотника: $1 \div 1 = 1$ дома/год.
2. Производительность второго плотника: $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ дома/год.
3. Производительность третьего плотника: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ дома/год.
4. Производительность четвертого плотника: $1 \div 4 = \frac{1}{4}$ дома/год.

Найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их скорости:
Общая производительность = $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12+6+4+3}{12} = \frac{25}{12}$ дома/год.

Чтобы найти время, за которое они вместе построят один дом, разделим объем работы (1 дом) на их общую производительность:
Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Общая производительность}} = \frac{1}{\frac{25}{12}} = 1 \times \frac{12}{25} = \frac{12}{25}$ года.

Ответ: при совместной работе они построят дом за $\frac{12}{25}$ года.

965. Каким натуральным числом можно заменить букву $a$ в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.

Первая бригада может выполнить задание за 40 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за $a$ ч. За сколько часов эти бригады выполнят задание при совместной работе?

Время совместной работы $T$ определяется формулой: $T = \frac{40a}{40+a}$

Сначала выведем общую формулу для времени, за которое бригады выполнят задание при совместной работе. Примем весь объем работы за 1.

Производительность первой бригады, которая выполняет задание за 40 часов, составляет $P_1 = \frac{1}{40}$ работы в час.

Производительность второй бригады, которая выполняет задание за $a$ часов, составляет $P_2 = \frac{1}{a}$ работы в час.

При совместной работе их общая производительность равна сумме их производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{40} + \frac{1}{a}$.

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем: $P_{общ} = \frac{a}{40a} + \frac{40}{40a} = \frac{a+40}{40a}$.

Время $T$, за которое бригады выполнят задание при совместной работе, является величиной, обратной общей производительности: $T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+40}{40a}} = \frac{40a}{a+40}$ часов.

Теперь найдем, при каких натуральных значениях $a$ время $T$ также будет выражаться натуральным числом. Для этого преобразуем полученное выражение для $T$: $T = \frac{40(a+40) - 40 \cdot 40}{a+40} = \frac{40(a+40)}{a+40} - \frac{1600}{a+40} = 40 - \frac{1600}{a+40}$.

Чтобы время $T$ было натуральным числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{1600}{a+40}$ была целым числом, а результат вычитания был положительным. Это означает, что:
1. Выражение $(a+40)$ должно быть делителем числа 1600.
2. Результат $40 - \frac{1600}{a+40}$ должен быть больше 0. Это условие равносильно неравенству $40 > \frac{1600}{a+40}$, из которого следует $a+40 > 40$, или $a > 0$. Так как по условию $a$ — это время, выраженное натуральным числом, это условие всегда выполняется.

Таким образом, задача сводится к поиску таких натуральных чисел $a$, для которых сумма $(a+40)$ является делителем числа 1600 и при этом больше 40.

Найдем несколько таких чисел, выбирая подходящие делители для $(a+40)$:

• Пусть $a+40 = 50$. Тогда $a = 50 - 40 = 10$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{50} = 40 - 32 = 8$ часов.
• Пусть $a+40 = 64$. Тогда $a = 64 - 40 = 24$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{64} = 40 - 25 = 15$ часов.
• Пусть $a+40 = 80$. Тогда $a = 80 - 40 = 40$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{80} = 40 - 20 = 20$ часов.
• Пусть $a+40 = 100$. Тогда $a = 100 - 40 = 60$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{100} = 40 - 16 = 24$ часа.
• Пусть $a+40 = 160$. Тогда $a = 160 - 40 = 120$. Время совместной работы: $T = 40 - \frac{1600}{160} = 40 - 10 = 30$ часов.

Ответ: Чтобы ответ выражался натуральным числом, букву $a$ можно заменить, например, числами 10, 24, 40, 60, 120. При этих значениях время совместной работы составит соответственно 8, 15, 20, 24 и 30 часов.