Страница 216 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

968. а) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби?

б) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби?

в) Как сравнивают смешанные дроби?

а) Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь (или смешанное число), необходимо выполнить следующие действия:

1. Разделить числитель неправильной дроби на её знаменатель с остатком.
2. Полученное неполное частное записать как целую часть смешанной дроби.
3. Остаток от деления записать как числитель дробной части.
4. Знаменатель дробной части оставить таким же, как и у исходной неправильной дроби.

Например, преобразуем неправильную дробь $ \frac{23}{5} $ в смешанную.

Делим 23 на 5: $ 23 \div 5 = 4 $ и остаток $ 3 $.
Неполное частное (4) становится целой частью. Остаток (3) становится новым числителем. Знаменатель (5) не меняется.
Таким образом, $ \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} $.

Ответ:

б) Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. К полученному результату прибавить числитель дробной части.
3. Эту сумму записать в числитель новой, неправильной дроби.
4. Знаменатель оставить без изменений.

Например, преобразуем смешанную дробь $ 5\frac{3}{4} $ в неправильную.

Умножаем целую часть (5) на знаменатель (4) и прибавляем числитель (3): $ 5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23 $.
Полученное число (23) становится новым числителем. Знаменатель (4) не меняется.
Таким образом, $ 5\frac{3}{4} = \frac{23}{4} $.

Ответ:

в) При сравнении смешанных дробей используется следующий порядок:

1. Сравнение целых частей. Сначала сравнивают целые части дробей. Та дробь больше, у которой целая часть больше.

   Например, при сравнении $ 7\frac{1}{5} $ и $ 4\frac{8}{9} $, мы видим, что целая часть первой дроби $ 7 $, а второй $ 4 $. Поскольку $ 7 > 4 $, то и $ 7\frac{1}{5} > 4\frac{8}{9} $.

2. Сравнение дробных частей. Если целые части дробей равны, то для сравнения нужно перейти к их дробным частям. Та смешанная дробь будет больше, у которой дробная часть больше.

   Например, сравним $ 3\frac{5}{6} $ и $ 3\frac{7}{9} $. Целые части равны (3). Теперь сравним дробные части $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{7}{9} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 — это 18.
   $ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} $
   $ \frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} $
   Так как $ \frac{15}{18} > \frac{14}{18} $, то $ \frac{5}{6} > \frac{7}{9} $.
   Следовательно, $ 3\frac{5}{6} > 3\frac{7}{9} $.

Ответ:

969. Запишите дробь в виде целого числа:

а) $\frac{12}{4} = 12 : 4 = 3;$

б) $\frac{32}{4};$

в) $\frac{56}{7};$

г) $\frac{48}{6};$

д) $\frac{72}{6}.$

Чтобы записать дробь в виде целого числа, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Это действие основано на определении дроби, где черта дроби обозначает операцию деления.

б)

Дана дробь $\frac{32}{4}$. Чтобы представить ее в виде целого числа, разделим числитель 32 на знаменатель 4.

$\frac{32}{4} = 32 : 4 = 8$

Ответ: 8

в)

Дана дробь $\frac{56}{7}$. Чтобы представить ее в виде целого числа, разделим числитель 56 на знаменатель 7.

$\frac{56}{7} = 56 : 7 = 8$

Ответ: 8

г)

Дана дробь $\frac{48}{6}$. Чтобы представить ее в виде целого числа, разделим числитель 48 на знаменатель 6.

$\frac{48}{6} = 48 : 6 = 8$

Ответ: 8

д)

Дана дробь $\frac{72}{6}$. Чтобы представить ее в виде целого числа, разделим числитель 72 на знаменатель 6.

$\frac{72}{6} = 72 : 6 = 12$

Ответ: 12

970. Является ли данная дробь целым числом:

а) $\frac{3}{2}$;

б) $\frac{5}{2}$;

в) $\frac{4}{3}$;

г) $\frac{20}{5}$?

Дробь является целым числом в том случае, если ее числитель делится на знаменатель без остатка. Проверим каждую из предложенных дробей:

а) $\frac{3}{2}$

Чтобы определить, является ли эта дробь целым числом, необходимо разделить числитель (3) на знаменатель (2).
$3 \div 2 = 1.5$.
Поскольку результат деления не является целым числом (есть остаток от деления, равный 1), данная дробь не является целым числом.
Ответ: нет.

б) $\frac{5}{2}$

Разделим числитель (5) на знаменатель (2).
$5 \div 2 = 2.5$.
Результат не является целым числом, так как 5 не делится на 2 нацело (остаток от деления равен 1).
Ответ: нет.

в) $\frac{4}{3}$

Разделим числитель (4) на знаменатель (3).
$4 \div 3 = 1$ с остатком 1.
Так как деление происходит с остатком, данная дробь не является целым числом.
Ответ: нет.

г) $\frac{20}{5}$

Разделим числитель (20) на знаменатель (5).
$20 \div 5 = 4$.
Результат деления — целое число 4, так как 20 делится на 5 без остатка.
Ответ: да.

971. Найдите целое число, равное дроби:

а) $\frac{12}{3}$;

б) $\frac{40}{20}$;

в) $\frac{100}{25}$;

г) $\frac{75}{3}$;

д) $\frac{1000}{8}$.

Чтобы найти целое число, равное дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Черта дроби означает операцию деления.

а) $ \frac{12}{3} $

Чтобы найти целое число, равное этой дроби, разделим 12 на 3.

$ 12 \div 3 = 4 $

Ответ: 4

б) $ \frac{40}{20} $

Разделим числитель 40 на знаменатель 20.

$ 40 \div 20 = 2 $

Ответ: 2

в) $ \frac{100}{25} $

Разделим числитель 100 на знаменатель 25.

$ 100 \div 25 = 4 $

Ответ: 4

г) $ \frac{75}{3} $

Разделим числитель 75 на знаменатель 3.

$ 75 \div 3 = 25 $

Ответ: 25

д) $ \frac{1000}{8} $

Разделим числитель 1000 на знаменатель 8. Это можно сделать столбиком или последовательным делением.

$ 1000 \div 2 = 500 $

$ 500 \div 2 = 250 $

$ 250 \div 2 = 125 $

Таким образом, $ 1000 \div 8 = 125 $.

Ответ: 125

972. Определите числитель дроби в равенстве:

а) $2 = \frac{}{2};$

б) $2 = \frac{}{3};$

в) $2 = \frac{}{4};$

г) $2 = \frac{}{1}.$

а) Чтобы найти числитель дроби, нужно целое число умножить на знаменатель. Обозначим искомый числитель за $x$.
$2 = \frac{x}{2}$
$x = 2 \times 2$
$x = 4$
Таким образом, равенство имеет вид $2 = \frac{4}{2}$.
Ответ: 4

б) Чтобы найти числитель дроби, нужно целое число умножить на знаменатель. Обозначим искомый числитель за $x$.
$2 = \frac{x}{3}$
$x = 2 \times 3$
$x = 6$
Таким образом, равенство имеет вид $2 = \frac{6}{3}$.
Ответ: 6

в) Чтобы найти числитель дроби, нужно целое число умножить на знаменатель. Обозначим искомый числитель за $x$.
$2 = \frac{x}{4}$
$x = 2 \times 4$
$x = 8$
Таким образом, равенство имеет вид $2 = \frac{8}{4}$.
Ответ: 8

г) Чтобы найти числитель дроби, нужно целое число умножить на знаменатель. Обозначим искомый числитель за $x$.
$2 = \frac{x}{1}$
$x = 2 \times 1$
$x = 2$
Таким образом, равенство имеет вид $2 = \frac{2}{1}$.
Ответ: 2

973. Запишите числа $3$, $5$, $7$ в виде дроби со знаменателем:

а) $3$;

б) $5$;

в) $7$.

Чтобы представить любое целое число в виде дроби с определенным знаменателем, необходимо это число умножить на этот знаменатель, и результат записать в числитель новой дроби. Исходный знаменатель остаётся без изменений. Общая формула выглядит так: $ N = \frac{N \cdot d}{d} $, где $N$ — целое число, а $d$ — требуемый знаменатель.

а)

Представим числа 3, 5, 7 в виде дроби со знаменателем 3.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 3}{3} = \frac{9}{3}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 3}{3} = \frac{15}{3}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 3}{3} = \frac{21}{3}$

Ответ: $\frac{9}{3}; \frac{15}{3}; \frac{21}{3}$.

б)

Представим числа 3, 5, 7 в виде дроби со знаменателем 5.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 5}{5} = \frac{15}{5}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 5}{5} = \frac{25}{5}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 5}{5} = \frac{35}{5}$

Ответ: $\frac{15}{5}; \frac{25}{5}; \frac{35}{5}$.

в)

Представим числа 3, 5, 7 в виде дроби со знаменателем 7.

Для числа 3: $3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$

Для числа 5: $5 = \frac{5 \cdot 7}{7} = \frac{35}{7}$

Для числа 7: $7 = \frac{7 \cdot 7}{7} = \frac{49}{7}$

Ответ: $\frac{21}{7}; \frac{35}{7}; \frac{49}{7}$.

974. Запишите сумму в виде смешанной дроби:

а) $5 + \frac{1}{2}$;

б) $13 + \frac{1}{7}$;

в) $2 + \frac{5}{7}$;

г) $17 + \frac{15}{17}$.

а) Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, которое состоит из целой части и дробной части. По определению, запись смешанной дроби вида $A\frac{b}{c}$ является сокращенной формой записи суммы $A + \frac{b}{c}$, где $A$ — целое число, а $\frac{b}{c}$ — правильная дробь.
В данном случае нам нужно записать сумму целого числа 5 и дроби $\frac{1}{2}$ в виде смешанной дроби. Целая часть будет равна 5, а дробная — $\frac{1}{2}$.
$5 + \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$
Ответ: $5\frac{1}{2}$

б) Аналогично предыдущему примеру, мы складываем целое число 13 и правильную дробь $\frac{1}{7}$.
Целая часть искомой смешанной дроби будет 13, а дробная часть — $\frac{1}{7}$.
$13 + \frac{1}{7} = 13\frac{1}{7}$
Ответ: $13\frac{1}{7}$

в) В этом выражении нам нужно сложить целое число 2 и правильную дробь $\frac{5}{7}$.
Записываем эту сумму в виде смешанной дроби, где 2 — это целая часть, а $\frac{5}{7}$ — дробная.
$2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7}$
Ответ: $2\frac{5}{7}$

г) Здесь нам дана сумма целого числа 17 и правильной дроби $\frac{15}{17}$.
Чтобы представить эту сумму в виде смешанной дроби, мы просто записываем целое число, а рядом с ним — дробную часть.
$17 + \frac{15}{17} = 17\frac{15}{17}$
Ответ: $17\frac{15}{17}$

975. Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

а) $5 \frac{1}{8};$

б) $7 \frac{5}{18};$

в) $12 \frac{13}{75};$

г) $8 \frac{11}{39}.$

По определению, смешанная дробь — это число, состоящее из целой части (натурального числа) и дробной части (правильной дроби). Запись смешанной дроби $A \frac{b}{c}$ означает сумму ее целой и дробной частей: $A + \frac{b}{c}$. Чтобы выполнить задание, необходимо явно записать эту сумму для каждой из предложенных дробей.

а) Смешанная дробь $5 \frac{1}{8}$ состоит из целой части, равной натуральному числу 5, и дробной части, равной правильной дроби $\frac{1}{8}$. Представим ее в виде суммы:
$5 \frac{1}{8} = 5 + \frac{1}{8}$
Ответ: $5 + \frac{1}{8}$

б) Для смешанной дроби $7 \frac{5}{18}$ целая часть равна 7, а дробная часть — $\frac{5}{18}$. Запишем ее в виде суммы натурального числа и правильной дроби:
$7 \frac{5}{18} = 7 + \frac{5}{18}$
Ответ: $7 + \frac{5}{18}$

в) Целая часть смешанной дроби $12 \frac{13}{75}$ равна 12, а дробная часть равна $\frac{13}{75}$. Их сумма будет выглядеть следующим образом:
$12 \frac{13}{75} = 12 + \frac{13}{75}$
Ответ: $12 + \frac{13}{75}$

г) В смешанной дроби $8 \frac{11}{39}$ целой частью является натуральное число 8, а дробной — правильная дробь $\frac{11}{39}$. Запишем их в виде суммы:
$8 \frac{11}{39} = 8 + \frac{11}{39}$
Ответ: $8 + \frac{11}{39}$

976. Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и запишите результат в виде смешанной дроби:

а) $\frac{3}{2}$;

б) $\frac{4}{3}$;

в) $\frac{5}{4}$;

г) $\frac{9}{2}$;

д) $\frac{28}{3}$;

е) $\frac{19}{6}$;

ж) $\frac{17}{5}$;

з) $\frac{38}{13}$;

и) $\frac{42}{15}$;

к) $\frac{57}{8}$.

а) Чтобы преобразовать неправильную дробь $ \frac{3}{2} $ в смешанную, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Делим 3 на 2.
$ 3 \div 2 = 1 $ (остаток 1).
Неполное частное (1) становится целой частью смешанного числа. Остаток (1) становится числителем дробной части. Знаменатель (2) остается прежним.
$ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{2} $.

б) Разделим числитель 4 на знаменатель 3 с остатком.
$ 4 \div 3 = 1 $ (остаток 1).
Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 3.
$ \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{3} $.

в) Разделим числитель 5 на знаменатель 4 с остатком.
$ 5 \div 4 = 1 $ (остаток 1).
Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 4.
$ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{4} $.

г) Разделим числитель 9 на знаменатель 2 с остатком.
$ 9 \div 2 = 4 $ (остаток 1).
Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 2.
$ \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 4\frac{1}{2} $.

д) Разделим числитель 28 на знаменатель 3 с остатком.
$ 28 \div 3 = 9 $ (остаток 1).
Целая часть равна 9, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 3.
$ \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} $.
Ответ: $ 9\frac{1}{3} $.

е) Разделим числитель 19 на знаменатель 6 с остатком.
$ 19 \div 6 = 3 $ (остаток 1).
Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 6.
$ \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} $.
Ответ: $ 3\frac{1}{6} $.

ж) Разделим числитель 17 на знаменатель 5 с остатком.
$ 17 \div 5 = 3 $ (остаток 2).
Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 2, знаменатель равен 5.
$ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} $.
Ответ: $ 3\frac{2}{5} $.

з) Разделим числитель 38 на знаменатель 13 с остатком.
$ 38 \div 13 = 2 $ (остаток 12).
Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 12, знаменатель равен 13.
$ \frac{38}{13} = 2\frac{12}{13} $.
Ответ: $ 2\frac{12}{13} $.

и) Разделим числитель 42 на знаменатель 15 с остатком.
$ 42 \div 15 = 2 $ (остаток 12).
Получаем смешанное число $ 2\frac{12}{15} $. Дробную часть $ \frac{12}{15} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3.
$ \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $.
Таким образом, $ \frac{42}{15} = 2\frac{4}{5} $.
Ответ: $ 2\frac{4}{5} $.

к) Разделим числитель 57 на знаменатель 8 с остатком.
$ 57 \div 8 = 7 $ (остаток 1).
Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 8.
$ \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} $.
Ответ: $ 7\frac{1}{8} $.

977. Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

а) $\frac{5}{2}$;
б) $\frac{7}{3}$;
в) $\frac{11}{4}$;
г) $\frac{6}{5}$;
д) $\frac{5}{3}$;
е) $\frac{7}{4}$;
ж) $\frac{9}{5}$;
з) $\frac{7}{5}$;
и) $\frac{72}{10}$;
к) $\frac{38}{7}$;
л) $\frac{25}{6}$;
м) $\frac{54}{13}$;
н) $\frac{26}{9}$;
о) $\frac{49}{8}$;
п) $\frac{90}{11}$.

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

а)
Для дроби $\frac{5}{2}$ разделим 5 на 2.
$5 \div 2 = 2$ с остатком 1.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.
Таким образом, $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б)
Для дроби $\frac{7}{3}$ разделим 7 на 3.
$7 \div 3 = 2$ с остатком 1.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 1, знаменатель — 3.
Таким образом, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Ответ: $2\frac{1}{3}$.

в)
Для дроби $\frac{11}{4}$ разделим 11 на 4.
$11 \div 4 = 2$ с остатком 3.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 3, знаменатель — 4.
Таким образом, $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.
Ответ: $2\frac{3}{4}$.

г)
Для дроби $\frac{6}{5}$ разделим 6 на 5.
$6 \div 5 = 1$ с остатком 1.
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 5.
Таким образом, $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

д)
Для дроби $\frac{5}{3}$ разделим 5 на 3.
$5 \div 3 = 1$ с остатком 2.
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 2, знаменатель — 3.
Таким образом, $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

е)
Для дроби $\frac{7}{4}$ разделим 7 на 4.
$7 \div 4 = 1$ с остатком 3.
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 3, знаменатель — 4.
Таким образом, $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Ответ: $1\frac{3}{4}$.

ж)
Для дроби $\frac{9}{5}$ разделим 9 на 5.
$9 \div 5 = 1$ с остатком 4.
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 4, знаменатель — 5.
Таким образом, $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.
Ответ: $1\frac{4}{5}$.

з)
Для дроби $\frac{7}{5}$ разделим 7 на 5.
$7 \div 5 = 1$ с остатком 2.
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 2, знаменатель — 5.
Таким образом, $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
Ответ: $1\frac{2}{5}$.

и)
Для дроби $\frac{72}{10}$ разделим 72 на 10.
$72 \div 10 = 7$ с остатком 2.
Получаем смешанную дробь $7\frac{2}{10}$. Дробную часть можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Таким образом, $\frac{72}{10} = 7\frac{1}{5}$.
Ответ: $7\frac{1}{5}$.

к)
Для дроби $\frac{38}{7}$ разделим 38 на 7.
$38 \div 7 = 5$ с остатком 3.
Целая часть равна 5, числитель дробной части — 3, знаменатель — 7.
Таким образом, $\frac{38}{7} = 5\frac{3}{7}$.
Ответ: $5\frac{3}{7}$.

л)
Для дроби $\frac{25}{6}$ разделим 25 на 6.
$25 \div 6 = 4$ с остатком 1.
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 1, знаменатель — 6.
Таким образом, $\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$.
Ответ: $4\frac{1}{6}$.

м)
Для дроби $\frac{54}{13}$ разделим 54 на 13.
$54 \div 13 = 4$ с остатком 2.
Целая часть равна 4, числитель дробной части — 2, знаменатель — 13.
Таким образом, $\frac{54}{13} = 4\frac{2}{13}$.
Ответ: $4\frac{2}{13}$.

н)
Для дроби $\frac{26}{9}$ разделим 26 на 9.
$26 \div 9 = 2$ с остатком 8.
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 8, знаменатель — 9.
Таким образом, $\frac{26}{9} = 2\frac{8}{9}$.
Ответ: $2\frac{8}{9}$.

о)
Для дроби $\frac{49}{8}$ разделим 49 на 8.
$49 \div 8 = 6$ с остатком 1.
Целая часть равна 6, числитель дробной части — 1, знаменатель — 8.
Таким образом, $\frac{49}{8} = 6\frac{1}{8}$.
Ответ: $6\frac{1}{8}$.

п)
Для дроби $\frac{90}{11}$ разделим 90 на 11.
$90 \div 11 = 8$ с остатком 2.
Целая часть равна 8, числитель дробной части — 2, знаменатель — 11.
Таким образом, $\frac{90}{11} = 8\frac{2}{11}$.
Ответ: $8\frac{2}{11}$.