Страница 221 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1001. Как вычитают смешанные дроби?

Чтобы вычесть одну смешанную дробь из другой, можно использовать один из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда дробная часть уменьшаемого (первой дроби) больше или равна дробной части вычитаемого (второй дроби).

1. Приведение к общему знаменателю. Если у дробных частей разные знаменатели, их необходимо привести к общему.

2. Вычитание. Отдельно вычесть целые части и отдельно – дробные части.

3. Запись результата. Сложить полученные целую и дробную части.

Рассмотрим два случая.

Случай А: Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

Пример: Вычислить $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7}$.

Дробные части уже имеют общий знаменатель. Сравниваем их: $\frac{5}{7} \ge \frac{2}{7}$.

Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.

Вычитаем дробные части: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.

Складываем результаты: $5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Ответ: $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Случай Б: Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить ее в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части.

Пример: Вычислить $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$, поэтому вычесть дробные части напрямую нельзя. "Занимаем" 1 у целой части (у 5):

$5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.

Теперь вычитание выглядит так: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.

Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Складываем результаты: $2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ является универсальным и подходит для любых случаев.

1. Преобразование. Каждую смешанную дробь нужно превратить в неправильную по формуле $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$.

2. Вычитание. Вычесть полученные неправильные дроби (приведя их к общему знаменателю, если это необходимо).

3. Обратное преобразование. Если результат получился в виде неправильной дроби, его следует преобразовать обратно в смешанную дробь.

Пример: Снова вычислим $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Выполняем вычитание:

$\frac{21}{4} - \frac{11}{4} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4}$

Сокращаем и преобразуем результат в смешанную дробь:

$\frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Вычислите (1002–1015).

1002. а) $ \frac{7}{12} - \frac{5}{12} $;

б) $ \frac{8}{15} - \frac{4}{15} $;

в) $ \frac{17}{36} - \frac{11}{36} $;

г) $ \frac{17}{45} - \frac{2}{45} $;

д) $ \frac{5}{48} - \frac{1}{12} $;

е) $ \frac{5}{12} - \frac{5}{18} $;

ж) $ \frac{1}{14} - \frac{1}{21} $;

з) $ \frac{3}{26} - \frac{4}{39} $.

а)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7-5}{12} = \frac{2}{12}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б)

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем их числители.

$\frac{8}{15} - \frac{4}{15} = \frac{8-4}{15} = \frac{4}{15}$

Дробь $\frac{4}{15}$ несократима, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{4}{15}$

в)

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.

$\frac{17}{36} - \frac{11}{36} = \frac{17-11}{36} = \frac{6}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6.

$\frac{6 \div 6}{36 \div 6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г)

Выполняем вычитание числителей, так как знаменатели дробей совпадают.

$\frac{17}{45} - \frac{2}{45} = \frac{17-2}{45} = \frac{15}{45}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15.

$\frac{15 \div 15}{45 \div 15} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

д)

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 12 и 48 является 48.

Приведем дробь $\frac{1}{12}$ к знаменателю 48, умножив числитель и знаменатель на 4 ($48 \div 12 = 4$).

$\frac{1}{12} = \frac{1 \times 4}{12 \times 4} = \frac{4}{48}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{5}{48} - \frac{4}{48} = \frac{5-4}{48} = \frac{1}{48}$

Ответ: $\frac{1}{48}$

е)

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 12 и 18. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 18 равно 36.

Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби $36 \div 12 = 3$. Для второй дроби $36 \div 18 = 2$.

$\frac{5}{12} - \frac{5}{18} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} - \frac{5 \times 2}{18 \times 2} = \frac{15}{36} - \frac{10}{36}$

Выполним вычитание:

$\frac{15 - 10}{36} = \frac{5}{36}$

Ответ: $\frac{5}{36}$

ж)

Найдем наименьший общий знаменатель для 14 и 21. НОК(14, 21) = 42.

Приведем дроби к знаменателю 42. Дополнительный множитель для первой дроби $42 \div 14 = 3$. Для второй дроби $42 \div 21 = 2$.

$\frac{1}{14} - \frac{1}{21} = \frac{1 \times 3}{14 \times 3} - \frac{1 \times 2}{21 \times 2} = \frac{3}{42} - \frac{2}{42}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3 - 2}{42} = \frac{1}{42}$

Ответ: $\frac{1}{42}$

з)

Найдем наименьший общий знаменатель для 26 и 39. Для этого разложим числа на простые множители: $26 = 2 \times 13$, $39 = 3 \times 13$. НОК(26, 39) = $2 \times 3 \times 13 = 78$.

Приведем дроби к знаменателю 78. Дополнительный множитель для первой дроби $78 \div 26 = 3$. Для второй дроби $78 \div 39 = 2$.

$\frac{3}{26} - \frac{4}{39} = \frac{3 \times 3}{26 \times 3} - \frac{4 \times 2}{39 \times 2} = \frac{9}{78} - \frac{8}{78}$

Выполним вычитание:

$\frac{9 - 8}{78} = \frac{1}{78}$

Ответ: $\frac{1}{78}$

1003. а) $1 - \frac{2}{5}$;

б) $1 - \frac{7}{18}$;

в) $1 - \frac{12}{13}$;

г) $1 - \frac{2}{45}$;

а) Чтобы вычесть дробь из единицы, необходимо представить единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби. В данном случае знаменатель равен 5, поэтому представим 1 как дробь $\frac{5}{5}$. После этого выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 18, то есть $1 = \frac{18}{18}$. Затем вычтем из числителя 18 числитель 7.

$1 - \frac{7}{18} = \frac{18}{18} - \frac{7}{18} = \frac{18-7}{18} = \frac{11}{18}$

Ответ: $\frac{11}{18}$

в) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 13, то есть $1 = \frac{13}{13}$. Затем выполним вычитание числителей.

$1 - \frac{12}{13} = \frac{13}{13} - \frac{12}{13} = \frac{13-12}{13} = \frac{1}{13}$

Ответ: $\frac{1}{13}$

г) Представим единицу в виде дроби со знаменателем 45, то есть $1 = \frac{45}{45}$. Затем вычтем числители, оставив знаменатель прежним.

$1 - \frac{2}{45} = \frac{45}{45} - \frac{2}{45} = \frac{45-2}{45} = \frac{43}{45}$

Ответ: $\frac{43}{45}$

1004. а) $12 - \frac{1}{7}$;

б) $21 - \frac{4}{13}$;

в) $45 - \frac{23}{43}$;

г) $99 - \frac{43}{45}$;

а) Для того чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно представить целое число в виде смешанного числа. Для этого мы "займем" единицу у целого числа и представим эту единицу в виде дроби с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби.
В данном случае, "займем" 1 у 12. Получим $12 = 11 + 1$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
Теперь выполним вычитание:
$12 - \frac{1}{7} = (11 + 1) - \frac{1}{7} = 11 + \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 11 + \frac{7-1}{7} = 11 + \frac{6}{7} = 11\frac{6}{7}$.
Ответ: $11\frac{6}{7}$

б) Действуем по тому же принципу. "Займем" единицу у числа 21. Получим $21 = 20 + 1$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 13: $1 = \frac{13}{13}$.
Теперь выполним вычитание:
$21 - \frac{4}{13} = (20 + 1) - \frac{4}{13} = 20 + \frac{13}{13} - \frac{4}{13} = 20 + \frac{13-4}{13} = 20 + \frac{9}{13} = 20\frac{9}{13}$.
Ответ: $20\frac{9}{13}$

в) "Займем" единицу у числа 45. Получим $45 = 44 + 1$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 43: $1 = \frac{43}{43}$.
Теперь выполним вычитание:
$45 - \frac{23}{43} = (44 + 1) - \frac{23}{43} = 44 + \frac{43}{43} - \frac{23}{43} = 44 + \frac{43-23}{43} = 44 + \frac{20}{43} = 44\frac{20}{43}$.
Ответ: $44\frac{20}{43}$

г) "Займем" единицу у числа 99. Получим $99 = 98 + 1$.
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 45: $1 = \frac{45}{45}$.
Теперь выполним вычитание:
$99 - \frac{43}{45} = (98 + 1) - \frac{43}{45} = 98 + \frac{45}{45} - \frac{43}{45} = 98 + \frac{45-43}{45} = 98 + \frac{2}{45} = 98\frac{2}{45}$.
Ответ: $98\frac{2}{45}$

1005 а) $12 - \frac{41}{70}$;

б) $36 - \frac{7}{53}$;

в) $35 - \frac{35}{74}$;

г) $46 - \frac{53}{62}$.

а)

Чтобы вычесть дробь из целого числа, представим целое число в виде смешанного числа. Для этого "займем" единицу у целого числа и представим её в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби.

Представим число 12 как $11 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 70: $1 = \frac{70}{70}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$12 - \frac{41}{70} = (11 + 1) - \frac{41}{70} = 11 + \frac{70}{70} - \frac{41}{70}$

Выполним вычитание дробей:

$11 + \frac{70 - 41}{70} = 11 + \frac{29}{70} = 11\frac{29}{70}$

Ответ: $11\frac{29}{70}$.

б)

Представим число 36 как $35 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 53: $1 = \frac{53}{53}$.

Перепишем выражение:

$36 - \frac{7}{53} = (35 + 1) - \frac{7}{53} = 35 + \frac{53}{53} - \frac{7}{53}$

Выполним вычитание дробей:

$35 + \frac{53 - 7}{53} = 35 + \frac{46}{53} = 35\frac{46}{53}$

Ответ: $35\frac{46}{53}$.

в)

Представим число 35 как $34 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 74: $1 = \frac{74}{74}$.

Перепишем выражение:

$35 - \frac{35}{74} = (34 + 1) - \frac{35}{74} = 34 + \frac{74}{74} - \frac{35}{74}$

Выполним вычитание дробей:

$34 + \frac{74 - 35}{74} = 34 + \frac{39}{74} = 34\frac{39}{74}$

Ответ: $34\frac{39}{74}$.

г)

Представим число 46 как $45 + 1$. Единицу запишем в виде дроби со знаменателем 62: $1 = \frac{62}{62}$.

Перепишем выражение:

$46 - \frac{53}{62} = (45 + 1) - \frac{53}{62} = 45 + \frac{62}{62} - \frac{53}{62}$

Выполним вычитание дробей:

$45 + \frac{62 - 53}{62} = 45 + \frac{9}{62} = 45\frac{9}{62}$

Ответ: $45\frac{9}{62}$.